Ủa H là điểm nào thế bạn?

Kẻ tiếp tuyến tại E,D cắt nhau tại T

Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyên

nên AB=AC

mà OB=OC

nên OA là trung trực của BC

=>OA vuông góc BC

=>AH*AO=AB^2

Xét ΔABD và ΔAEB có

góc ABD=góc AEB

góc BAD chung

=>ΔABD đồng đạng với ΔAEB

=>AB/AE=AD/AB

=>AB^2=AE*AD=AH*AO

=>AD/AO=AH/AE

=>ΔADH đồng dạng vơi ΔAOE

=>góc ADH=góc AOE

=>góc DHO+góc DEO=180 độ

=>OHDE là tứ giác nội tiếp(1)

Xét tứ giác OETD có

góc OET+góc OTD=180 độ

=>OETD là tứ giác nội tiếp(2)

Từ (1), (2) suy ra O,E,T,D,H cùng thuộc 1 đường tròn

=>góc EHT=1/2*sđ cung ET; góc THD=1/2*sđ cung TD

ΔOET=ΔODT

=>ET=DT

=>góc EHT=góc DHT

=>HB là phân giác của góc DHE

1. Ta có : ÐAMB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ÐKMF = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).

ÐAEB = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ÐKEF = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).

=> ÐKMF + ÐKEF = 180⁰ . Mà ÐKMF và ÐKEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó EFMK là tứ giác nội tiếp.

1.      Ta có ÐIAB = 90⁰ ( vì AI là tiếp tuyến ) => DAIB vuông tại A có AM ^ IB ( theo trên).

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI² = IM . IB.

2.      Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => ÐIAE = ÐMAE => AE  =  ME  (lí do ……)

=> ÐABE =ÐMBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF. (1)

Theo trên ta có ÐAEB = 90⁰ => BE ^ AF hay BE là đường cao của tam giác  ABF (2).

Từ  (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .

3.      BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3)

Từ BE ^ AF => AF ^ HK (4), theo trên AE là  tia phân giác góc IAM hay AE là  tia phân giác ÐHAK  (5)

Từ  (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6).

Từ  (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường).

4.      (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK =>  tứ giác AKFI là hình thang.

Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn  thì AKFI phải là hình thang cân.

AKFI  là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB.

Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => ÐABM = ÐMAI = 45⁰ (t/c góc nội tiếp ). (7)

Tam giác  ABI vuông tại A có ÐABI = 45⁰ => ÐAIB = 45⁰ .(8)

Từ  (7) và (8) => ÐIAK = ÐAIF = 45⁰ => AKFI  là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng nhau).

Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

Lưu ý – kí hiệu: Ð có nghĩa là góc.

Nhận xét

Hình thang ABCD có hai cạnh bên và đáy nhỏ bằng nhau và bằng nửa đáy lớn, nên nó là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AB, tâm O là trung điểm của AB.

Như vậy: ∠(ACB) = ∠(ADB) = 1v.

a) Theo giả thiết, ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC

BC ⊥ SA & BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC. (1)

Mặt khác SB ⊥ (P) nên SB ⊥ IJ (⊂ (P)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra BCJI là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính BJ.

Ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AJ (⊂ (SAC))

AJ ⊥ BC & AJ ⊥ SB (do SB ⊥ (P)) ⇒ AJ ⊥ (SBC) ⇒ AJ ⊥ JI (⊂ (SBC)) (3)

Lý luận tương tự, ta có:

BD ⊥ AD & BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAD) ⇒ BD ⊥ AK (⊂ (SAD))

AK ⊥ BD & AK ⊥ SB(⊂ (P)) ⇒ AK ⊥ (SBD) ⇒ AK ⊥ KI. (4)

Từ (3) và (4) suy ra AKJI nội tiếp trong đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng (P).

b) Ta có ngay O’ là trung điểm BJ

Vì OO’ là đường trung bình của ΔABJ nên OO’ // AJ

Mà AJ ⊥ (SBC) nên OO’ ⊥ (SBC)

c) Ta có (SCD) ∩ (ABCD) = CD.

Gọi M = JK ∩ CD

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AM(⊂ (ABCD)) (5)

SB ⊥ (P) ⇒ SB ⊥ AM (⊂ (P)) (6)

Từ (5) và (6), ta có: AM ⊥ (SAB) ⇒ AM ⊥ AB.

Suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔABC tại A. Như vậy AM cố định. Vì M = AM ∩ CD nên M cố định.

d) ΔAIB vuông tại I nên OA = OB = OI

ΔAJB vuông tại J (do AJ ⊥ (SBC)) nên OA = OB = OJ).

ΔAKB vuông tại K (do AK ⊥ (SBD)) nên OA = OB = OK).

Ta có OA = OB = OC = OD = OI = OJ = OK nên O là điểm cách đều các điểm đã cho và OA = AB/2 = a.

e) Theo chứng minh câu c.

f) Khi S thay đổi trên d, ta có I luôn nằm trong mặt phẳng (B, d).

Trong mặt phẳng này I luôn nhìn đoạn AB cố định dưới góc vuông nên tập hợp I là đường tròn ( C 1 ) đường kính AB nằm trong mặt phẳng (B, d).

Tương tự, tập hợp J là đường tròn ( C 2 ) đường kính AC nằm trong mặt phẳng (C, d) và tập hợp K là đường tròn đường kính AD nằm trong mặt phẳng (D, d).