Sorry mink ko biet lm bài này xin lỗi bn 

Tặng thật ko bạn?

Với X=Y=Z thì thấy thỏa mãn

Xét trường hợp X>Y>Z :

Với X>Y thì suy X+Y>Y+Y=2Ynên X+Y-Z>2Z-Z=Z

=>( X+Y-Z)^3>Z^3

Tượng tự ta có :

(Y+Z-X)^3>X^3và(Z+X-Y)^3>Y^3

Từ đó :

=> VT>VP nên vô lý

Vậy X=Y=Z

Ta có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\dfrac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\dfrac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=\dfrac{1}{x+y+z}.\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}\right)=\dfrac{1}{xyz}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

Có : x/x+y ; y/y+z ; z/z+x đều > 0

=> x/x+y + y/y+z + z/z+x > x/x+y+z + y/x+y+z + z/x+y+z = x+y+z/x+y+z = 1

Lại có : x/x+y ; y/y+z ; z/z+x đều  < 1

=> x/x+y + y/y+z + z/z+x < x+z/x+y+z + y+x/x+y+z + z+y/x+y+z = 2x+2y+2z/x+y+z = 2

=> ĐPCM

Tk mk nha

Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\left(ĐPCM\right)\)

\(x+y\le z\Rightarrow\frac{z}{x+y}\ge1\)\(VT=3+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}\)

\(VT=3+\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)+\left(\frac{x^2}{z^2}+\frac{z^2}{16x^2}\right)+\left(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{16y^2}\right)+\frac{15z^2}{16}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)

\(VT\ge3+2\sqrt{\frac{x^2y^2}{x^2y^2}}+2\sqrt{\frac{x^2z^2}{16x^2z^2}}+2\sqrt{\frac{y^2z^2}{16y^2z^2}}+\frac{15z^2}{32}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)

\(VT\ge3+2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15z^2}{32}\left(\frac{4}{x+y}\right)^2\)

\(VT\ge6+\frac{15}{2}\left(\frac{z}{x+y}\right)^2\ge6+\frac{15}{2}=\frac{27}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{z}{2}\)