\(8x^3\left(y+z\right)-y^3\left(z+2x\right)-z^3\left(2x-y\right)\)

\(=8x^3\left(y+z\right)-y^3\left[\left(y+z\right)+\left(2x-y\right)\right]-z^3\left(2x-y\right)\)

\(=8x^3\left(y+z\right)-y^3\left(y+z\right)-y^3\left(2x-y\right)-z^3\left(2x-y\right)\)

\(=\left(y+z\right)\left(8x^3-y^3\right)-\left(2x-y\right)\left(y^3+z^3\right)\)

\(=\left(y+z\right)\left(2x-y\right)\left(4x^2+4xy+y^2\right)-\left(2x-y\right)\left(y+z\right)\left(y^2-xy+z^2\right)\)

\(=\left(y+z\right)\left(2x-y\right)\left(4x^2+4xy+y^2-y^2+xy-z^2\right)\)

\(=\left(y+z\right)\left(2x-y\right)\left(4x^2+5xy-z^2\right)\)

Bây giờ mình đặt \(\left(2x;-y;z\right)=\left(a;b;c\right)\)với đa thức đã cho là S cho nó đẹp cái đã, cơ mà đề bài khúc cuối là  cộng hay trừ thế

Nếu khúc cuối là trừ thì lúc này \(S=a^3\left(b+c\right)+b^3\left(c+a\right)-c^3\left(a+b\right)\)

Ta thấy biểu thức S gần đối xứng với các biến a,b,c

Với các biểu thức này thì thường dùng xét giá trị biến kiểu như thế này:

Nếu a=c thì thay vào S=b³(c+a)

Nếu b=c thì thay vào S=a³(b+c)

Do đó ta thấy S có dạng A.(b+c)(c+a), với a là một biểu thức bậc 2 với 3 biến a,b,c

Bây giờ mình đi tìm A như sau

Giả sử \(A=\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2+uab+vbc+wca\)

Thử với các giá trị \(\cdot\left(a;b;c\right)=\left(1;2;3\right);\left(4;5;6\right);\left(7;8;9\right);...\)

Rồi tìm ra các hệ số của A rồi suy ra S bằng bao nhiêu đó

=8x³y + z³y + 8x³z -2xz³ - y³(z +2x)= y(8x³+z³) +2xz(4x²-z²) - y³(2x+z) = y(2x+z)(4x² - 2xz + z²) +2xz(2x+z)(2x-z) - y³(2x+z)

=(2x+z)(4x²y -2xyz + z²y + 4x²z -2xz² - y³) = (2x+z)( 4x²y+ 4x²z - 2xyx- 2xz² +z²y - y³) = (2x+z)[ 4x²(y+z) -2xz(y+z) + y(z+y)(z-y)]

= (2x+z)(y+z)( 4x²- 2xz +yz- y²) = (2x+z)(y+z)(4x² - y² -2xz + yz) = (2x+z)(y+z)[(2x-y)(2x+y) - z(2x-y)] 

= (2x+y)(y+z)(2x-y)(2x+y-z)

a) \(\left(x+y\right)^3-x^3-y^3\)

\(=\left(x+y\right)^3-\left(x^3+y^3\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2-x^2+xy-y^2\right)\)

\(=3xy\left(x+y\right)\)