Thấy : \(a;b;c\ge0;a+b+c=1\)  \(\Rightarrow1-a;1-b;1-c\ge0\)

AD BĐT AM - GM ta được :  \(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\le\left(2-a-c\right)^2=\left[2-\left(1-b\right)\right]^2=\left(b+1\right)^2\)

\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(1-b\right)\left(b+1\right)^2=\left(1-b^2\right)\left(b+1\right)\le1.\left(b+1\right)=b+1=b+\left(a+b+c\right)=a+2b+c\)

( đpcm ) 

cái này bạn dùng bất đẳng thức \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}>=\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)2 lần với từng phân thức. rồi cộng vế theo vế là xong

1)

Ta có: \(M=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+b+4c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\frac{3\left(a+b\right)+\left(a+b+4c\right)}{2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

2)

\(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}=\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\sqrt[3]{2a\left(ab+1\right)^2}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\frac{2a+\left(ab+1\right)+\left(ab+1\right)}{3}}=3\Sigma_{cyc}\frac{a}{ab+a+1}\)

Ta có bổ đề: \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1\left(abc=1\right)\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}\ge3\)

chuyển VP sang VT là đc mà

chuyển đi

làm đi chứ đừng gợi ý cho người khác

ta có \(a-b|P\left(a\right)-P\left(b\right).màP\left(b\right)=-1\) nên suy ra \(\left[{}\begin{matrix}a-b=1\\a-b=-1\end{matrix}\right.\)

tương tự ta cũng được \(\left[{}\begin{matrix}c-b=1\\c-b=-1\end{matrix}\right.\) rõ ràng a≠c(do P(a)≠P(a)) nên a-b≠c-b

từ đây ta được

\(\left[{}\begin{matrix}a-b=1\\c-b=-1\end{matrix}\right.V\left[{}\begin{matrix}a-b=-1\\c-b=1\end{matrix}\right.\)

suy ra \(a+c=2b\) 

vậy ta được đpcm