\(60=3.4.5\)

Ta cần chứng minh xyz chia hết cho 3 ; 4 và 5

\(∗\)Giả sử cả x ; y và z đều không chia hết cho 3

Khi đó x ; y và z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 => x² ; y² và z² chia cho 3 dư 1

\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 3 )

Vô lí vì  \(z^2\equiv1\) ( mod 3 )

Vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3, do đó \(xyz⋮3\) ( 1 )

\(∗\)Giả sử cả x ; y và z không chia hết cho 4

Khi đó x ; y và z chia cho 4 dư 1 ; 2 hoặc 3

- TH1 : Cả x ; y và z lẻ => x² ; y² và z² chia 4 dư 1

\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 4 ) ( loại ) 

- TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn => xyz chia hết cho 4

- TH3 : Có 1 số chẵn và 2 số lẻ

+) Với x ; y lẻ thì  \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 4 ) ( loại do z chẵn nên \(z^2\equiv0\) ( mod 4 ) )

+) Với x ; z lẻ thì \(y^2=z^2-x^2\equiv\left(z-x\right)\left(z+x\right)\) .Ta có bảng sau : 

Các trường hợp khác tương tự

Ta luôn có \(y^2=\left(z-x\right)\left(z+x\right)⋮8\)  . Trong khi đó y² không chia hết cho 4 nhưng lại chia hết cho 8 => Mâu thuẫn 

Vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4 \(\Rightarrow xyz⋮4\) ( 2 )

\(∗\)Giả sử cả x ; y và z không chia hết cho 5

Khi đó x ; y và z chia cho 5 dư 1 ; 2 ; 3 hoặc 4 => x² ; y² và z² chia cho 5 dư 1 hoặc -1

- TH1 : \(x^2\equiv1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv2\) ( mod 5 ) ( loại )

- TH2 : \(x^2\equiv-1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) ( loại )

- TH3 : \(x^2\equiv1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv0\) ( mod 5 ) ( loại )

Vậy tồn tại ít nhất một số chia hết cho 5 \(\Rightarrow xyz⋮5\) ( 3 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow xyz⋮3.4.5=60\left(đpcm\right)\)

cảm ơn bạn Death Note đã giúp mk nhé!

Do \(2x^2-1\) luôn lẻ \(\Rightarrow y^3\) lẻ \(\Rightarrow y\) lẻ \(\Rightarrow y=2k-1\) với \(k>1\)

\(2x^2-1=\left(2k-1\right)^3=8k^3-12k^2+6k-1\)

\(\Rightarrow x^2=4k^3-6k^2+3k=k\left(4k^2-6k+3\right)\)

- Nếu \(k⋮3\Rightarrow x^2⋮3\Rightarrow x⋮3\)

- Nếu \(k⋮̸3\), gọi \(d=ƯC\left(4k^2-6k+3;k\right)\) với \(d\ne3\)

\(\Rightarrow4k^2-6k+3-k\left(4k-6\right)⋮d\) 

\(\Rightarrow3⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow4k^2-6k+3\) và \(k\) nguyên tố cùng nhau

Mà \(k\left(4k^2-6k+3\right)=x^2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k^2=m^2\\4k^2-6k+3=n^2\end{matrix}\right.\) 

Xét \(4k^2-6k+3=n^2\Rightarrow16k^2-24k+12=\left(2n\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(4k-3\right)^2+3=\left(2n\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2n-4k+3\right)\left(2n+4k-3\right)=3\)

Giải pt ước số cơ bản này ta được nghiệm nguyên dương duy nhất \(k=1\) (không thỏa mãn \(k>1\))

Vậy \(x⋮3\)

Giả sử tồn tại x, y, z, t thỏa mãn.

Ta chứng minh bổ đề: Cho \(a,b\in\mathbb{Z}\). Khi đó \(a^2+b^2\vdots 3\Leftrightarrow a,b\vdots 3\).

Thật vậy, ta thấy nếu \(a,b\vdots 3\Rightarrow a^2+b^2\vdots 3\).

Nếu \(a^2+b^2\vdots 3\): Do \(a^2,b^2\equiv0;1\left(mod3\right)\) nên ta phải có \(a^2,b^2\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow a,b⋮3\).

Bổ đề dc cm.

Trở lại bài toán: Ta có 2019 chia hết cho 3 nên \(x^2+y^2⋮3\Rightarrow x,y⋮3\Rightarrow x^2+y^2⋮9\).

Mà 2019 không chia hết cho 9 nên \(z^2+t^2⋮3\Leftrightarrow z,t⋮3\).

Đặt x = 3x', y = 3y', z = 3z', t = 3t'.

Ta có \(2019=\dfrac{x^2+y^2}{z^2+t^2}=\dfrac{x'^2+y'^2}{z'^2+t'^2}\).

Cmtt, ta có \(x',y',z',t'⋮3\).

Lặp lại nhiều lần như vậy, ta có \(x,y,z,t⋮3^k\forall k\in N\).

Do đó x = y = z = t = 0 (vô lí).

Vậy không tồn tại...

- Ta có: \(x+y+z=0\)

      \(\Leftrightarrow x+y=-z\)

      \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(-z\right)^2\)

      \(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy=z^2\)

      \(\Leftrightarrow x^2+y^2-z^2=-2xy\)

- CMT²: \(y^2+z^2-x^2=-2yz\)

             \(z^2+x^2-y^2=-2zx\)

- Thay \(x^2+y^2-z^2=-2xy,\)\(y^2+z^2-x^2=-2yz,\)\(z^2+x^2-y^2=-2zx\)vào đa thức P

- Ta có: \(P=\frac{x^2}{-2yz}+\frac{y^2}{-2zx}+\frac{z^2}{-2xy}\)

     \(\Leftrightarrow P=\frac{x^3+y^3+z^3}{-2xyz}\)

- Đặt \(a=x^3+y^3+z^3\)

- Ta lại có: \(a=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy.\left(x+y\right)\)

           \(\Leftrightarrow a=\left(x+y+z\right)^3-3.\left(x+y\right).z.\left(x+y+z\right)-3ab.\left(x+y\right)\)

- Mặt khác: \(x+y+z=0\)

            \(\Leftrightarrow x+y=-z\)

- Thay \(x+y+z=0,\)\(x+y=-z\)vào đa thức a

- Ta có: \(a=-3xy.\left(-z\right)=3xyz\)

- Thay \(a=3xyz\)vào đa thức P

- Ta có: \(P=\frac{3xyz}{-2xyz}=-\frac{3}{2}\)

Vậy \(P=-\frac{3}{2}\)