\(\dfrac{11x}{5}-\sqrt{2x+1}=3y-\sqrt{4y-1}+2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4y-1}-\sqrt{2x+1}=3y+2-\dfrac{11x}{5}\)

Vì 4y - 1 chia cho 4 có số dư là 2 nên \(\sqrt{4y-1}\) là số vô tỉ

Tta có VP là số hữu tỉ. VT là số vô tỉ và \(\left\{{}\begin{matrix}4y-1\\2x+1\end{matrix}\right.\) là 2 số hữu tỉ nên:\(\Rightarrow\sqrt{4y-1}-\sqrt{2x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow x=2y-1\)

Thế lại phương trình ban đầu ta được:

\(\Rightarrow y=3\\ \Rightarrow x=5\)

Vậy nghiệm cần tìm là \(\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=3\end{matrix}\right.\)

Chúc bạn học tốt

\(\dfrac{11x}{5}-\sqrt{2x+1}=3y-\sqrt{4y-1}+2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4y-1}-\sqrt{2x+1}=3y+2-\dfrac{11x}{5}\)

Ta nhận xét VP là số hữu tỷ nên VT cũng phải là số hữu tỷ.

Ta có \(\sqrt{4x-1}\) là số vô tỷ vì \(4x-1\) không phải là số chính phương

Bên cạnh đó:\(\left\{{}\begin{matrix}4x-1\\2x+1\end{matrix}\right.\) là hai số hữu tỷ.

\(\Rightarrow\sqrt{4y-1}-\sqrt{2x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow x=2y-1\)

Thế lại phương trình đầu ta được

\(y-3=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=3\end{matrix}\right.\)

1./ Với mọi y nguyên thì: 4y - 1 nguyên và không phải số chính phương.

(vì ngược lại nếu 4y - 1 = m² => m lẻ => 4y - 1 = (2k + 1)² => 4y = 4k² + 4k + 2. VT chia hết cho 4, VP không chia hết cho 4).

=> \(\sqrt{4y-1}\)là 1 số vô tỷ.

2./ Viết PT trở thành: \(\frac{11x}{5}-3y-2=\sqrt{2x+1}-\sqrt{4y-1}\)(2)

Đặt \(A=\frac{11x}{5}-3y-2\)(2) trở thành: \(A+\sqrt{4y-1}=\sqrt{2x+1}\). Bình phương 2 vế:

\(A^2+4y-1+2A\sqrt{4y-1}=2x+1\)

\(\Rightarrow2A\sqrt{4y-1}=2x+2-A^2-4y\)(3)

VT(3) là số vô tỷ để "=" VP(3) là 1 số hữu tỷ thì A = 0.

3./ Do đó: \(\sqrt{4y-1}=\sqrt{2x+1}\Rightarrow2x+1=4y-1\Rightarrow x=2y-1\)

Và: \(0=\frac{11x}{5}-3y-2\Rightarrow11\left(2y-1\right)-15y-10=0\Rightarrow y=3\Rightarrow x=5\).

4./ Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất x = 5; y = 3.

xy - 2x - 3y + 1 = 0

<=> x(y - 2) = 3y - 1

<=> \(=\frac{3y-1}{y-2}=3+\frac{5}{y-2}\)

Để x nguyên thì (y - 2) phải là ước của 5 hay

(y - 2) = (1, 5, - 1, - 5)

Giải tiếp sẽ ra

\(\frac{1}{3x}+\frac{2x}{3y}=\frac{x+\sqrt{y}}{2x^2+y}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-\sqrt{y}\right)^2\left(x^2+x\sqrt{y}+y\right)=0\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{3x}+\frac{2x}{3y}=\frac{x+\sqrt{y}}{2x^2+y}\left(1\right)\\\sqrt{y+\sqrt{y}+x+2}+\sqrt{3x+1}=5\left(2\right)\end{cases}}\)

\(ĐK:y>0;\frac{-1}{3}\le x\ne0;y+\sqrt{y}+x+2\ge0\)

Đặt \(\sqrt{y}=tx\Rightarrow y=t^2x^2\)thay vào (1), ta được: \(\frac{1}{3x}+\frac{2x}{3t^2x^2}=\frac{x+tx}{2x^2+t^2x^2}\)

Rút gọn biến x ta đưa về phương trình ẩn t : \(\left(t-2\right)^2\left(t^2+t+1\right)=0\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow\sqrt{y}=2x\ge0\)

Thay vào (2), ta được: \(\sqrt{4x^2+3x+2}+\sqrt{3x+1}=5\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x^2+3x+2}-3\right)+\left(\sqrt{3x+1}-2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(4x+7\right)}{\sqrt{4x^2+3x+2}+3}+\frac{3\left(x-1\right)}{\sqrt{3x+1}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{4x+7}{\sqrt{4x^2+3x+2}+3}+\frac{3}{\sqrt{3x+1}+2}\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{4x+7}{\sqrt{4x^2+3x+2}+3}+\frac{3}{\sqrt{3x+1}+2}>0\)nên \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=4\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(1,4\right)\)