Gọi \(d=\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(n^3+2n\right)⋮d\\\left(n^4+3n^2+1\right)⋮d\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n\left(n^3+2n\right)=\left(n^4+2n^2\right)⋮d\\\left(n^4+3n^2+1\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow n^2+1⋮d\Leftrightarrow\left(n^2+1\right)^2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> P/s tối giản

Gọi \(d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right);\left(d>0\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^3+2n⋮d\left(1\right)\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}}\)

Từ \(\left(1\right)\): \(\Rightarrow n\left(n^3+2n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^4+2n^2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2⋮d\)

\(\Rightarrow n^4+2n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)(do \(n^4+2n^2⋮d\))

Vì \(d>0\)\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)là phân số tối tối giản với mọi n nguyên

trog Sách chuyên đề lớp 6 nhé bn , bài này giải ra dài lắm

Gọi d là ƯC(n³+2n;n⁴+3n²+1)

n³+2n chia hết d;n⁴+3n²+1 chia hết d

n(n³+2n) chia hết d ; n⁴+3n²+1 chia hết d

n⁴+2n² chia hết d; n⁴+3n²+1 chia hết d

(n⁴+3n²+1) - (n⁴+2n²) chia hết d

n²+1 chia hết d

n(n²+1) chia hết d

n³+n chia hết d

(n³+2n)-(n³+n) chia hết d

n chia hết d

n² chia hết d

(n²+1)-(n²) chia hết cho d

 1 chia hết d

d=1 

PS tối giản

Gọi d là ước chung của \(n^3+2n\) và \(n^4+3n^2+1\) . ta có :

+) \(n^3+2n⋮d\)

\(\Rightarrow n\left(n^3+2n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^4+2n^2⋮d\)   (1)

Và  \(n^4+3n^2+1-\left(n^4+2n^2\right)=n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2=n^4+2n^2+1⋮d\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\left(n^4+2n^2+1\right)-\left(n^4+2n\right)^2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)

Vậy \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) là phân số tối giản (đpcm)

a) Đặt \(d=\left(15n+1,30n+1\right)\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}15n+1⋮d\\30n+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow2\left(15n+1\right)-\left(30n+1\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\).

Ta có đpcm. 

b) Đặt \(d=\left(n^3+2n,n^4+3n^2+1\right)\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}n^3+2n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-n\left(n^3+2n\right)=n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-n^2\left(n^2+1\right)-2\left(n^2+1\right)=-1⋮d\)

Suy ra \(d=1\).

Suy ra đpcm. 

Gọi ước chung lớn nhất của n - 5 và 3n - 14 là d, ta có

3 ( n - 5) - ( 3n - 14)= -1 chia hết cho d

=> d = -1 hoặc 1, do đó n - 5 và 3n - 14  là nguyên tố cùng nhau

vậy n - 5/3n - 14 là phân số tối giản

123456789q

Để chứng minh một phân số là tối giản, ta cần chứng minh ƯCLN (tử, mẫu) = 1

Bài giải

a) Ta có phân số: \(\frac{n+1}{3n+4}\)(n \(\inℕ\))

Gọi ƯCLN (n + 1; 3n + 4) là d    (d \(\inℕ^∗\))

=> n + 1 \(⋮\)d;   3n + 4 \(⋮\)d

=> 3n + 4 - 3(n + 1) \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

=> ƯCLN (n + 1; 3n + 4) = 1

=> \(\frac{n+1}{3n+4}\)là phân số tối giản

=> ĐPCM

b) Ta có phân số: \(\frac{2n+3}{3n+5}\)(n \(\inℕ\))

Gọi ƯCLN (2n + 3; 3n + 5) là d  (d \(\inℕ^∗\))

=> 2n + 3 \(⋮\)d;      3n + 5 \(⋮\)d

=> 2(3n + 5) - 3(2n + 3) \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

=> ƯCLN (2n + 3; 3n + 5) = 1

=> \(\frac{2n+3}{3n+5}\)là phân số tối giản

=> ĐPCM

a) Gọi (n+1,3n+4) là d ( d thuộc N* )

=> n+1 và 3n+4 đều chia hết cho d

=> (3n+4)-3(n+1) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> (n+1,3n+4)=1 nên n+1 và 3n+4 là 2 SNT cùng nhau

=> P/s n+1/3n+4 tối giản với mọi n thuộc N  (đpcm)

b) Gọi (2n+3,3n+5) là d  (d thuộc N*)

=> 2n+3 chia hết cho d và 3n+5 chia hết cho d

=> (3n+5)-(2n+3) chia hết cho d

=> 2(3n+5)-3(2n+3) chia hết cho d

=> 6n+10-6n+9 chia hết cho d

=> d=1

=> (2n+3,3n+5)=1 nên 2n+3 và 3n+5 là 2 SNT cùng nhau

=> P/s 2n+3/3n+5 tối giản với mọi n thuộc N  (đpcm)

a) \(\frac{n+1}{3n+4}\)

Goi ƯCLN (n + 1; 3n + 4) là d

Ta có: \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}3.\left(n+1\right)⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}3n+3⋮d\\3n+4⋮d\end{cases}}\)

=> (3n + 4) - (3n + 3) ⋮d

=> 3n + 4 - 3n - 3 ⋮d

=> 1 ⋮d

=> d = 1

ƯCLN (n + 1; 3n + 4) = 1

=> \(\frac{n+1}{3n+4}\) là phân số tối giản.