Ta có: \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}.\)

Mà\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\)

\(=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\)

\(\Rightarrow S< \frac{8}{9}\)

Và \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+....+\frac{1}{9.10}\)

Mà \(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{9.10}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\)

\(\Rightarrow S>\frac{2}{5}\)

Vậy: \(\frac{2}{5}< S< \frac{8}{9}\)

Mik lười quá bạn tham khảo câu 3 tại đây nhé:

Câu hỏi của nguyen linh nhi - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

\(S=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+...+\frac{1}{37\cdot38\cdot39}\)

\(2S=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{37\cdot38}-\frac{1}{38\cdot39}\)

\(2S=\frac{1}{2}-\frac{1}{38\cdot39}\)

\(S=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\cdot38\cdot39}< \frac{1}{4}\)

( 99 - 1 ) : 2 + 1 = 50 ( số )

làm bừa thui,ai tích mình mình tích lại

Số số hạng là : 

Có số cặp là :

50 : 2 = 25 ( cặp )

Mỗi cặp có giá trị là :

99 - 97 = 2 

Tổng dãy trên là :

25 x 2 = 50

Đáp số : 50

Ta có : \(S>\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{9\cdot10}\)

       \(\Rightarrow S>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

      \(\Rightarrow S>\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)           (1)

Ta lại có : \(S< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{8\cdot9}\)

          \(\Rightarrow S< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\)

           \(\Rightarrow S< 1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\)

Từ (1) và (2)  \(\Rightarrow\frac{2}{5}< S< \frac{8}{9}\)          ( đpcm )

Ta có :

2² = 2.2 < 2.3 => \(\frac{1}{2^2}>\frac{1}{2.3}\)

3² = 3.3 < 3.4 => \(\frac{1}{3^2}>\frac{1}{3.4}\)

........................

9² = 9 . 9 < 9. 10 => \(\frac{1}{9^2}>\frac{1}{9.10}\)

=> S > \(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{9.10}\)

=> S > \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

=> S > \(\frac{1}{2}-\frac{1}{10}\)

=> S >\(\frac{2}{5}\)( 1 )

Ta có :

2² = 2 . 2 > 1.2 => \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

3² = 3.3 > 3.2 => \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

...........................

9² = 9.9 > 8.9 => \(\frac{1}{9^2}< \frac{1}{8.9}\)

=> S < \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{8.9}\)

=> S < \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\)

=> S < \(1-\frac{1}{9}\)

=> S <\(\frac{8}{9}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 )

=> \(\frac{2}{5}< S< \frac{8}{9}\)

\(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{9^2}>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{9.10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\left(1\right)\)

\(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{9^2}

bạn ơi dòng đầu tiên bạn tách sai rồi theo minh thì không phải thế đâu

chắc là bạn đúng đó

\(S=\frac{3}{1^2\cdot2^2}+\frac{5}{2^2\cdot3^2}+.....+\frac{19}{9^2\cdot10^2}\)

\(\Rightarrow S=\frac{3}{1\cdot4}+\frac{5}{4\cdot9}+....+\frac{19}{81\cdot100}\)

\(\Rightarrow S=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+....+\frac{1}{81}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow S=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}< 1\left(ĐPCM\right)\)

S = \(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{9^2}+....+\frac{1}{405^2}+\frac{1}{409^2}\)

<=> S =  \(\frac{1}{5\cdot5}+\frac{1}{9\cdot9}+....+\frac{1}{405\cdot405}+\frac{1}{409\cdot409}\)

=> S < \(\frac{1}{5\cdot9}+\frac{1}{9\cdot13}+....+\frac{1}{405\cdot409}+\frac{1}{409\cdot413}\)

(Ta thấy các cơ số lũy thừa cách nhau 4 đơn vị nên ở mẫu biến đổi sao cho hai số cũng cách nhau 4 đơn vị thì sẽ đơn giản hơn)

=> 4S < \(\frac{4}{5\cdot9}+\frac{4}{9\cdot13}+....+\frac{4}{405\cdot409}+\frac{4}{409\cdot413}\)

=> 4S < \(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+....+\frac{1}{405}-\frac{1}{409}+\frac{1}{409}-\frac{1}{413}\)

(Vì hai số ở mẫu cách nhau 4 đơn vị nên ta nhân hai vế cho 4 thì lúc đó ta sẽ tách được hiệu hai phân số) ; (Cuối cùng đơn giản hết đi)

=> 4S < \(\frac{1}{5}-\frac{1}{413}\)

=> 4S < \(\frac{408}{2065}\approx0,2\)

=> S < \(0,05\)

Mà 0,05 < \(\frac{1}{12}\left(\frac{1}{12}\approx0,08\right)\)

Vậy S < \(\frac{1}{12}\)

\(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}\)

=> \(S=< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\)

Lại có: \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{9.10}\)

=> \(S>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)

=> \(\frac{2}{5}< S< \frac{8}{9}\)

Ta có: \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}\)

\(=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\)

\(=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{9}=\frac{9}{36}+\frac{18}{36}-\frac{4}{36}=\frac{9+18+\left(-4\right)}{36}=\frac{23}{36}< \frac{32}{36}=\frac{8}{9}\left(1\right)\)

Lại có: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{9.10}\)

\(=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

\(=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{10}=\frac{15}{60}+\frac{20}{60}-\frac{6}{60}=\frac{19}{60}>\frac{8}{20}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => đpcm

Áp dụng công thức: \(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a}=\frac{1}{\left(a-1\right)a}>\frac{1}{a.a}=\frac{1}{a^2}\)

Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{8}{9}-\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\)

-----------------------------------------

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}< \frac{8}{9}-\frac{1}{9}=\frac{7}{9}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}< \frac{8}{9}\)(1)

Đảo ngược công thức trên lại,ta lại có: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a}=\frac{1}{\left(a+1\right)a}< \frac{1}{a.a}=\frac{1}{a^2}\)

SAu đó bạn làm tương tự như trên sẽ được . Giờ mình bận rồi=)))

Đây là toán nhé =))

Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{9^2}< \frac{1}{8.9}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{8.9}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\left(1\right)\)

Lại có: \(\frac{1}{2^2}>\frac{1}{2.3};\frac{1}{3^2}>\frac{1}{3.4};...;\frac{1}{9^2}>\frac{1}{9.10}\)

\(\Rightarrow S>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{9.10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{2}{5}< S< \frac{8}{9}\)

Giải tiếp luôn.

Áp dụng công thức đã đảo,ta có:

\(\frac{1}{2^2}>\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{3^2}>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)

------------------

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}>\frac{2}{5}+\frac{1}{9}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}>\frac{2}{5}\)(2)

Từ (1) và (2) , suy ra đpcm

P/s: Bạn không phải phân vân ai đúng ai sai đâu vì mình từng làm bài này rồi, ST cũng thế! Chỉ có điều mỗi người giải một cách khác nhau thôi =((( bạn thấy ai dễ hiểu thì làm theo cho dễ nhé.