Kéo dài DA và CB lần lượt về phía A và B cắt nhau tại E

Xét tam giác DCE có \(\widehat{DEC}\) = 180⁰ - (\(\widehat{EDC}\) + \(\widehat{ECD}\)) = 180⁰- 90⁰ = 90⁰

                      ⇒\(\Delta\)DEC vuông tại E

Xét \(\Delta\)AEB Theo pytago ta có: AE² + BE² = AB²

Tương tự ta có:                       DE² + CE² = DC²

Cộng vế với vế ta có:              AE² + BE² + DE² + CE² = AB²+DC²

                                             AE² + CE²+BE²+DE² = AB²+DC² (1)

Xét \(\Delta\)AEC theo pytago ta có: AE²+ CE² = AC²

Tương tự ta có:                      BE² + DE² = BD²

Cộng vế với vế ta có:             AE² + CE² + BE²+ DE² = AC² + BD² (2)

Từ (1) và (2) ta có: AC² + BD² = AB² + DC²(đpcm)

Kẻ đường kính BB’. Nối B’A, B’D, B’C.

Ta có: = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AC // B'D ( cùng vuông góc với BD)

Suy ra, tứ giác ADB’C là hình thang

Vì ADB’C nội tiếp đường tròn (O) nên ADB’C là hình thang cân

⇒ CD = AB'

⇒  A B 2 + C D 2 = A B 2 + A B ' 2

Mà tam giác BAB’ vuông tại A do  = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒  A B 2 + C D 2 = A B 2 + A B ' 2 = 2 R 2 = 4 R 2  (đpcm)

Xét tam giác ABD có MN là đường trung bình => MN//=AD/2

Xét tam giác ACD có PQ là đường trung bình => PQ//=AD/2

=> MN//=PQ => Tứ giác MNPQ Là hình bình hành (1)

Tương tự ta cũng chứng minh được NP//=MQ//=BC/2

Ta có ^DAB+^AMN=180 (Hai góc trong cùng phía)

Ta có ^CBA+^BMQ=180 (lý do như trên)

=> (^DAB+^CBA)+(^AMN+^BMQ)=360 => ^AMN+^BMQ=360-^DAB+^CBA=360-270=90

Ta có ^AMB=^AMN+^BMQ+^NMQ=180=> ^NMQ=180-^AMN+^BMQ=180-90=90 (2)

Từ (1) và (2) => MNPQ là hình chữ nhật