x²+2x+11=(x²+2x+1)+10=(x+1)²+10

Do (x+1)²>0=>(x+1)²+10>0

=>(x+1)²+10 luôn dương

=>x²+2x+11 luôn dương(đpcm)

x^2+2x+11

=x²+2x+1+10

=(x+1)²+10 >0 với mọi x ( vì (x+1)^2\(>\)0)

vậy  x^2+2x+11 luôn dương

Lê Quang Phúc copy 

 4.x^2-12x+25

=4x²-2.2x.3+9+16

=(2x-3)²+16 >0 với mọi x ( vì (2x-3)²\(\ge\)0)

vậy  4.x^2-12x+25 luôn dương

\(4x^2-12x+25\)

\(=4x^2-2.2x.3+9+16\)

\(=\left(2x-3\right)^2+16\ge16>0\forall x\left(đpcm\right)\)

Ta có

4x²-12x+25

=4x²-2.2x.3+9+16

=(2x-3)²+16>0

=> đpcm

= ( x² - 2 .x . 1/2 +1/4 ) 3/4

= (x-1/2)² + 3/4 >= 3/4 > 0 nên luôn dương V  

học tốt

Ta có:

\(x^2-x+1\)

\(=x^2-2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với \(\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)với\(\forall x\)

hay giá trị của mỗi biểu thức trên luôn dương với mọi giá trị của biến

Ta có : 

\(4x^2+12x+10>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(4x^2+12x+9\right)+1>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[\left(2x\right)^2+2.2x.3+3^2\right]+1>0\) 

\(\Leftrightarrow\)\(\left(2x+3\right)^2+1\ge1>0\)

Vậy \(4x^2+12x+10\) luôn dương với mọi giá trị x 

Chúc bạn học tốt ~ 

\(4x^2+12x+10\)

\(\Rightarrow\)\(\left(2x\right)^2+2\times2x\times3+9+1\)

\(\Rightarrow[\left(2x\right)^2+12x+3^2]+1\)

\(\Rightarrow\left(2x+3\right)^2+1\)

Ta có

\(4x^2+12x+10>0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+12x+9\right)+1>0\)

\(\Leftrightarrow[\left(2x\right)^2+2.2x.3+3^2]+1>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2+1\ge0\)

Vậy \(4x^2+12x+10\) luôn dương với mọi giá trị x

Chúc bạn hok giỏi

Ta có :a:5 dư 4

Nên a:5 dư 4 chỉ có là 24

=>a=24

Mà a²:5 = 576 : 5 = 1015 (dư 1)

Vậy :đpcm

Ta có a:5 dư 4 =>a có tận cùng là 4 hoặc 9

=>a² sẽ có tận cùng là 6 hoặc 1 mà 6 và 1 đều chia 5 dư 1=>a² cũng chia 5 dư 1 (đpcm)

Đặt a=5q+4(q là số tự nhiên) ta có:

a²=(5q+4)²=25q²+40q+16=5.(5q²+8q+3)+1, chia 5 dư 1.

HELP ME!!!!!!!!!!! PLEASE!!!! T_T

Ta chứng minh \(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)  (1)  

với mọi n \(\in\)N* , bằng phương pháp quy nạp 

Với n = 1, ta có \(2^2=4=\frac{2.1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{3}\)

=> (1) đúng khi n = 1 

Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k\(\in\)N* , tức là giả sử đã có : 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}\)

Ta chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 , tức là ta sẽ chứng minh 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)

=> Từ giả thiết quy nạp ta có : 

\(2^2+4^2+...+\left(2k\right)^2+\left(2k+2\right)^2=\frac{2k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{3}+\left(2k+2\right)^2\)

                                                                    \(=\frac{2\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{3}\)

                                                                    \(=\frac{2\left(k+1\right)\left[2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)\right]}{3}\)

                                                                    \(=\frac{2\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{3}\)

Từ các chứng minh trên , suy ra (1) đúng với mọi n \(\in\)N*                                             

ai quan tam lam chi

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài 2: 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>

Bài 3:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$2=(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}$

$(a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b})^2\leq (a^2+b^2)(1+a+1+b)$

$=2+a+b\leq 2+\sqrt{2}$

$\Rightarrow a\sqrt{1+a}+b\sqrt{1+b}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$