4.x^2-12x+25

=4x²-2.2x.3+9+16

=(2x-3)²+16 >0 với mọi x ( vì (2x-3)²\(\ge\)0)

vậy  4.x^2-12x+25 luôn dương

\(4x^2-12x+25\)

\(=4x^2-2.2x.3+9+16\)

\(=\left(2x-3\right)^2+16\ge16>0\forall x\left(đpcm\right)\)

Ta có

4x²-12x+25

=4x²-2.2x.3+9+16

=(2x-3)²+16>0

=> đpcm

a²-a+1=(a²-a+1/4)+3/4=(a-1/2)²+3/4

Do (a-1/2)²>0

=>(a-1/2)²+3/4>0

=>(a-1/2)²+3/4 dương 

Hay a²-a+1 luôn dương

= ( x² - 2 .x . 1/2 +1/4 ) 3/4

= (x-1/2)² + 3/4 >= 3/4 > 0 nên luôn dương V  

học tốt

Ta có:

\(x^2-x+1\)

\(=x^2-2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với \(\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)với\(\forall x\)

hay giá trị của mỗi biểu thức trên luôn dương với mọi giá trị của biến

Ta có : 

\(4x^2+12x+10>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(4x^2+12x+9\right)+1>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[\left(2x\right)^2+2.2x.3+3^2\right]+1>0\) 

\(\Leftrightarrow\)\(\left(2x+3\right)^2+1\ge1>0\)

Vậy \(4x^2+12x+10\) luôn dương với mọi giá trị x 

Chúc bạn học tốt ~ 

\(4x^2+12x+10\)

\(\Rightarrow\)\(\left(2x\right)^2+2\times2x\times3+9+1\)

\(\Rightarrow[\left(2x\right)^2+12x+3^2]+1\)

\(\Rightarrow\left(2x+3\right)^2+1\)

Ta có

\(4x^2+12x+10>0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+12x+9\right)+1>0\)

\(\Leftrightarrow[\left(2x\right)^2+2.2x.3+3^2]+1>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2+1\ge0\)

Vậy \(4x^2+12x+10\) luôn dương với mọi giá trị x

Chúc bạn hok giỏi

sửa:\(\sqrt{x+2y}+\sqrt{y+2z}+\sqrt{z+2x}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\sqrt{\left(x+2y\right).1}\le\frac{x+2y+1}{2}\)

\(\sqrt{\left(y+2z\right).1}\le\frac{y+2x+1}{2}\)

\(\sqrt{\left(z+2x\right).1}\le\frac{z+2x+1}{2}\)

Cộng từng vế đẳng thức trên ta được:

\(\sqrt{x+2y}+\sqrt{y+2z}+\sqrt{z+2x}\le\frac{3\left(x+y+z\right)+3}{2}=3\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x+2y=1;y+2z=1;z+2x=1;x=y=z;x+y+z=1\)

                       \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy...

a)Đặt A= \(x^2+2x+11=\left(x+1\right)^2+10\)

vì \(\left(x+1\right)^2\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+11\ge11;\forall x\)

Hay \(A\ge11>0;\forall x\)

phần b và c mình sẽ giải ra hằng đẳng thức lập luận tương tự phần a

b)\(4x^2+8x+5\)

 \(\left(2x\right)^2+2.2x.2+2^2+1\)

\(=\left(2x+2\right)^2+1\)

c) \(x^2+x+2=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+2\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\)

a) \(x^2+2x+11\)

\(=\left(x^2+2x+1\right)+10\)

\(=\left(x+1\right)^2+10\ge10\)

\(\text{Vì }\left(x+1\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+1\right)^2+10\ge10\Rightarrow\left(x+1\right)^2+10>0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+11>0\)

Vậy biểu thước x²+2x+11 luôn có giá trị dương

\(b.4x^2+8x+5\)

\(=\left(2x\right)^2+8x+4+1\)

\(=\left(2x+2\right)^2+1\ge1\text{ vì }\left(2x+2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+1>0\Leftrightarrow4x^2+8x+5>0\)

Vậy biểu thức 4x²+8x+5 luôn có giá trị dương

Ta có ;

\(2x^2-10x+27\)

\(=x^2-2x+1+x^2-8x+16+10\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(x-4\right)^2+10\)

Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)và \(\left(x-4\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(x-4\right)^2+10\ge10\forall x\)

=> Biểu thức đã cho luôn dương .

( P.s : Bạn có thể tách theo kiểu khác ).

\(2x^2-10x+27\)

\(=x^2+x^2-4x-6x+4+9+14\)

\(=\left(x^2-4x+4\right)+\left(x^2-6x+9\right)+14\)

\(=\left(x-2\right)^2+\left(x-3\right)^2+14\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\\\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2+\left(x-3\right)^2+14\ge14\forall x\)

=> Biểu thức luôn dương vớ mọi x .

Bài 1

\(A=x^2-6x+15=x^2-2.3.x+9+6=\left(x-3\right)^2+6>0\forall x\)

\(B=4x^2+4x+7=\left(2x\right)^2+2.2.x+1+6=\left(2x+1\right)^2+6>0\forall x\)

Bài 2

\(A=-9x^2+6x-2021=-\left(9x^2-6x+2021\right)=-\left[\left(3x-1\right)^2+2020\right]=-\left(3x-1\right)^2-2020< 0\forall x\)