a,VÌ AD là p/g của ^A nên ^EAD = ^IAD =  \(\frac{1}{2}\)^ EAI = \(\frac{1}{2}\cdot60^o=30^o\)

Xét tam giác vuông EAD và tam giác vuông IAD ta có: ^EAD = ^IAD ; chung AD 

Nên tam giác vuông AED = tam giác vuông IAD (cạnh huỳen - góc nhọn)

do đó DE = DF (2 cạnh tương ứng) nên tam giác DEF cân tại D \(\left(1\right)\)

Do đó ^ADE = ^IDA =\(30^o\)mà ^EDI = ^ADE + ^IDA = \(30^o+30^o=60^o\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\)-> tam giác DEF đều. (ĐPCM)

b, Xét tam giác vuông DEF và tam giác vuông DEI, ta có:  DE = DF ; KE = FI

nên tam giác vuông DEF = tam giác vuông DEI (2 cạnh góc vuông)

do đó  DK = DI (2 cạnh tương ứng)

Nên tam giác DKI cân tại D (ĐPCM)

mình cũng đang gửi một câu hỏi giống của bạn

AD là phân giác của ∠BAC 
=> ∠DAE = ∠DAF = ∠BAC = 60⁰ 
△DAE = △DAF (trường hợp cạnh huyền cạnh góc vuông) 
=> DE = DF 
=> △DEF cân ở D 
△ADE vuông ở E => ∠EAD + ∠EDA = 90⁰ 
=> ∠EDA = 30⁰ 
tương tự ∠FDA = 30⁰ 
=> ∠FDE = 60⁰ 
=> △DEF đều 
b, △DEI và △DFK có 
DE = DF 
∠DEI = ∠DFK = 90⁰ 
EI = FK 
=> △DEI = △DFK 
=> DI = DK 
=> △DIK cân ở D 
c, ∠BAC + ∠MAC = 180⁰ (kề bù) 
=> ∠MAC = 180⁰ - 120⁰ = 60⁰ 
AD//MC => ∠MCA = ∠CAD = 60⁰ 
=> △ACM đều 
tính AD 
***c/m : trong tam giác vuông có góc 60⁰ thì cạnh góc vuông kề với góc đó bằng nửa cạnh huyền 
thật vậy 
xét trong △ABC vuông ở A có ∠ACB = 60⁰ 
gọi E là trung điểm của BC 
trên tia đối của tia EA lấy D sao cho AE = ED 
xét △ABE và △DCE có 
BE = CE 
∠AEB = ∠DEC (đối đỉnh) 
AE = DE 
=> △ABE = △DCE 
=> ∠ABE = ∠DCE và AB = CD 
=> AB//CD 
=> CD ┴ AC 
△BAC = △DCA (cgc) 
=> BC = DA 
=> AE = BC/2 = EC 
=> △AEC cân ở E 
∠ACE = 60⁰ 
=> △AEC đều 
=> AC = AE = BC/2 
=> đpc/m 
***áp dụng bài toán trên => AF = AD/2 
△AMC đều => AC = MC = m 
=> AF = AC - CF = m - n 
=> AD = 2(m - n)

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).