Cho hai số dương x,y thay đổi thỏa mãn: xy=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(M=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}\)
cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn XY = 2. Tìm GTNN của biểu thức \(M=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}\)
Ta có:
\(M=\frac{2x+y}{xy}+\frac{3}{2x+y}=\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\right)+\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\)
Có: \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}.\frac{3}{2x+y}}=\frac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\frac{3}{8}.\frac{2x+y}{2}=\frac{3}{2x+y}\)
Có: \(\frac{5}{8}.\frac{2x+y}{2}\ge\frac{5}{8}\sqrt{2xy}=\frac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> 2x=y và xy=2
Do đó \(M\ge\frac{3}{2}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> x=1 và y=2
Vậy GTNN của M là 11/4 khi x=1 và y=2
Bài 1 :Cho 2 số dương x,y thỏa mãn điều kiện \(x+y\le1\). Chứng minh\(x^2-\frac{3}{4x}-\frac{x}{y}\le\frac{-9}{4}\)
Bài 2 : Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa mãn điều kiện x+y\(\ge1\)và x>0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=y^2+\frac{8x^2+y}{4x}\)
bài 3: cho 3 số dương x,y,z thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\(P=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
Bài 1:Cho 1. Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=2\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Bài 2:Cho hai số dương x, y thỏa mãn \(x+y\le2\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(C=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{7}{xy}+xy\)
Các bạn giải cho mình 1 bài là được rồi mà giải được cả 2 thì càng tốt
Giờ bạn cần bài này nữa không
1. Đặt A = x2+y2+z2
B = xy+yz+xz
C = 1/x + 1/y + 1/z
Lại có (x+y+z)2=9
A + 2B = 9
Dễ chứng minh A>=B
Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)
Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1
C = (x+y+z) /3x + (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z
C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x)
Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2
=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)
P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1
Vậy ...........
Câu 2 chưa ra thông cảm
Cho x,y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn:x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{18}{x^2+y^2}+\frac{5}{xy}\)
Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 2. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{xy}.\)
Nhận xét :
x2 lớn hơn 0 ( với mọi x dương )
y2 lớn hơn 0 ( với mọi y dương )
Để Amin => \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\) Min => x2 và y2 max
Nhưng x + y = 2
=> x = y = 1
A min = \(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{3}{1}=5\)
Vậy A min = 5 <=> x = y = 1
\(A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{xy}\) và x + y = 2
AM-GM => x + y >= \(2\sqrt{xy}\)
=> \(2\sqrt{xy}\)<= 2
=> xy <= 1
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{1}{xy}\)
=> A >= 1/xy + 3/xy
=> A >= 4/xy
mà xy <= 1
=> A >= 4/1
=> A>= 4
dấu bằng sảy ra khi x = y = 2/2 = 1
Vậy GTNN của A là 4 khi x = y = 1
Nhầm 1/x^2 + 1/y^2 >= 2/xy
=> A >= 5
khi x = y = 1 nhé
Cho các số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y \(\le\)1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\)
Theo đề ta suy ra \(y\le1-3x\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}\le\sqrt{x\left(1-3x\right)}\)
Ta có \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x\left(1-3x\right)}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{x+\left(1-3x\right)}{2}}=\frac{2}{2x}+\frac{2}{-2x+1}\)
\(=2\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{-2x+1}\right)\ge2.\frac{\left(1+1\right)^2}{2x-2x+1}=8\)
Vậy \(A\ge8\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=1-3x=y\\\frac{1}{2x}=\frac{1}{-2x+1}\\3x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=\frac{1}{4}\)
cho x;y là các số thực dương thỏa mãn x +y \(\ge3\) tìm giá trị nhỏ nhất của S = x+y+ \(\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\)
\(S=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)\)
\(S\ge2\sqrt{\dfrac{x}{4x}}+2\sqrt{\dfrac{2y}{2y}}+\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)
Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(M=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+zx}\)
\(M\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{7}{xy+yz+zx}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
và \(\frac{7}{xy+yz+xz}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=21\)
\(\Rightarrow M\ge9+21=30\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có:
\(M=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)
\(\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{7}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}=30\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1/3
1. Cho x,y,z là ba số dương thay đổi và thỏa mãn \(^{x^2+y^2+z^2\le xyz}\)
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}\)
2. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\)