\(A=1+2+2^2+2^3+...+2^{99}\)
\(=>2A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{100}\)
\(=>2A-A=\left(2+2^2+2^3+2^4+...+2^{100}\right)-\left(1+2+2^2+2^3+...+2^{99}\right)\)
\(=>A=-1+2^{100}\)
\(=>A+1=2^{100}-1+1=2^{100}⋮2\)
Vậy A+1 là số chính phương.

A=1+2+2²+2³+...+2⁹⁹
A=2⁰+ 2¹ +2² +2³+...+2⁹⁹ (1)
2A=2x(2⁰+2¹+2²+...+2⁹⁹) 
2A=2¹+2²+2³+...+2¹⁰⁰ (2)
Trừ (2) cho (1) ta có:
2A-A=2¹+2²+2³+...+2¹⁰⁰ -2⁰+2¹+2²+2³+...+2⁹⁹
A=2¹⁰⁰-1
2 là số chẵn => 2¹⁰⁰ là số chẵn: 0;2;4;6;8(vì 2¹⁰⁰=2.2.2.2.2....2(100 số 2) và có tận cùng là 2;4;6;8 và loại 0 vì 2.2.2...2(100 số 2) ko có c/số tận cùng =0) * Phần này tôi có thể giải một cách tỉ mỉ hơn tại sao 2¹⁰⁰ lại có c/số tận cùng =2;4;6;8 nhưng tôi sợ bạn chưa học nên ko giải và cái mà tôi định giải là kiến thức lớp 6 và tôi là hs lớp 6*
Số chính phương có c/số tận cùng ko bằng=2;3;7;9
Mà 2¹⁰⁰-1 có c/số tận cùng = 1;3;5;7 => 2¹⁰⁰-1 là số chính phương.
 

 => 2A =2 + 22 + 23 + ... + 2²⁰²⁰

 => 2A-A =( 2 + 22 + 23 + ... + 2²⁰²⁰)- (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22019)

=> A =2²⁰²⁰-1

=> A+1 =2²⁰²⁰

Vậy A + 1 là một số chính phương

a, 

A = 2 + 2² + 2³ +...+2¹⁰

A = (2 + 2² ) + (2³ +2⁴ ) + ...+ (2⁹ + 2¹⁰ )

A = 2 ( 1+2 ) + 2³(1+2 ) + ...+ 2⁹(1+2)

A = 2 .3 + 2³ .3 + ...+2⁹.3

A = 3 ( 2+ 2³ + ...+ 2⁹ ) \(⋮\) 3 3

Vậy A \(⋮\) 3

b, A = 2 + 2² + 2³ +...+2¹⁰

A = ( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ ) + ( 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰ )

A =  2 ( 1+2+2² + 2³ + 2⁴ ) + 2⁶(1+2+2² + 2³ + 2⁴)

A = 2 . 31 + 2⁶ .31

A = 31(2+2⁶ ) \(⋮\) 31

vậy A \(⋮\) 31

d , A = 2 + 2² + 2³ +...+2¹⁰  

a) Số số hàng trong tổng A là:

     \(\frac{\left(2n+1-1\right)}{2}+1=n+1\)

\(A=\frac{\left(2n+1+1\right)\left(n+1\right)}{2}=\left(n+1\right)\left(n+1\right)=\left(n+1\right)^2\)

Do n là số tự nhiên nên A là số chính phương.

b) Số số hạng trong tổng B là:

    \(\frac{2n-2}{2}+1=n\)

\(B=\frac{\left(2n+2\right).n}{2}=\left(n+1\right)n\)

Vậy số B không thể là số chính phương.