mk chẳng biết  nguyen hoang phi hung ak

Giải:

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge2ab+a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1^2=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Vậy ...

Cách khác :

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki vào bài toán , ta có :

( a² + b²)( 1² + 1²) ≥ ( a + b)²

⇒ a² + b² ≥ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = \(\dfrac{1}{2}\)

Ta co : \(a+b=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=1\left(1\right)\)

Ma \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(2\right)\)

Cộng vế với vế các bdt cùng chiều (1) và (2) ta được

\(a^2+b^2\ge1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac. 
(1/a + 1/b + 1/c)² = 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2(1/ab + 1/bc + 1/ac) = 4 
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2(bcac + abac + abbc)/(a²b²c²) = 4 
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2abc(a + b + c)/(a²b²c²) = 4 
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2 = 4 
(vi` abc(a + b + c) = a² b² c²) 
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² = 2 !!

ko biết

Theo gt, ta có: \(a+b+c=abc\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{ab}=1\)

Đặt \(\dfrac{1}{a}=x;\dfrac{1}{b}=y;\dfrac{1}{c}=z\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=2\\xy+yz+xz=1\end{matrix}\right.\)

Mặt khác, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2^2-2\times1=2\)

hay \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2\)

Vậy ta có đpcm.