2009^2010đồng dư với 1 (theo mod 2010)

Giả sử tồn tại 1 số nguyên a chia hết cho 7, m,n là số tự nhiên thỏa mãn a⁶ⁿ+a^6m không chia hết cho 7 (*)

a chia hết cho 7, ta đặt a=7k với k\(\in\)N^*

 \(a^{6m}+a^{6n}=\left(7k\right)^{6m}+\left(7k\right)^{6n}=7^{6m}.k^{6m}+7^{6n}.k^{6n}\)luôn chia hết cho 7(tính chất chia hết của 1 tổng)

Trái với giả sử đã đưa ra ở (*)

Vậy luôn tồn tại 1 nguyên a chia hết cho 7, m,n là số tự nhiên thỏa mãn a⁶ⁿ+a^6m chia hết cho 7 (đpcm)

Như Ngọc làm, chứng minh phản chứng!

Giả sử tồn tại một số a là nguyên , m,n là số tự nhiên và a chia hết cho 7 sao cho \(a^{6n}+a^{6m}\) không chia hết cho 7

Khi đó đặt a = 7k (k thuộc N*)

\(a^{6m}+a^{6n}=\left(7k\right)^{6m}+\left(7k\right)^{6n}=7^{6m}.k^{6m}+7^{6n}.k^{6n}\)luôn chia hết cho 7 (vô lí)

Vậy điều giả sử sai. Ta có đpcm.

a) Với n=1 thì \(7^{^{ }3}+8^3\) chia hết cho \(7^2-56+8^2nên\) chia hết cho 19

Giả sử \(7^{k+2}+8^{k+2}\) chia hết cho 19 (k >_ 1)

Xét \(7^{k=3}+8^{2k+3}=7.7^{k+2}+64.8^{2k+1}=7.\left(7^{k+2}+8^{2k+1}\right)+57.8^{2k+1}\) chia hết cho 19

Muộn rồi b chiều tớ hứa là sẽ làm 4h30' chiều

b)Với n=1 thì 1+6+11+6 =24 chia hết cho 24

Giả sử \(k^4+6k^3+11k^2+6k\) chia hết cho 24 (k >_ 1)

Xét: \(\left(k+1\right)^4+6.\left(k+1\right)^3+11.\left(k+1\right)^2+6.\left(k+1\right)\)

        =( \(k^4+6k^3+11k^2+6k\)) + 24.(\(k^2+1\))+4.\(\left(k^3+11k\right)\)

Ta thấy hai số hạng đầu chia hết cho 24.Phải chứng minh 4.\(\left(k^3+11k\right)\)chia hết cho 24,tức là chứng minh \(k^3+11k\) chia hết cho 6.Điều này được chứng minh một cách dễ dàng.

a) Đặt \(d=\left(21n+3,6n+4\right)\).

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}21n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}}\Rightarrow7\left(6n+4\right)-2\left(21n+3\right)=22⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{22,11,2,1\right\}\).

Ta sẽ tìm điều kiện để \(\hept{\begin{cases}21n+3⋮2\\6n+4⋮2\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}21n+3⋮11\\6n+4⋮11\end{cases}}\)

- \(\hept{\begin{cases}21n+3⋮2\\6n+4⋮2\end{cases}}\)suy ra \(n\)lẻ. 

- \(\hept{\begin{cases}21n+3⋮11\\6n+4⋮11\end{cases}}\)suy ra \(21n+3=22n-n+3⋮11\Leftrightarrow n+8⋮11\Leftrightarrow n=11k-8\left(k\inℤ\right)\).

Với \(n=11k-8\)thì \(6n+4=66k-44⋮11\).

Vậy \(A\)rút gọn được khi \(n\)lẻ hoặc \(n=11k-8\left(k\inℤ\right)\).

b) \(\frac{21n+3}{6n+4}\inℤ\Rightarrow\frac{2\left(21n+3\right)}{6n+4}=\frac{42n+6}{6n+4}=7-\frac{22}{6n+4}\inℤ\Leftrightarrow\frac{22}{6n+4}\inℤ\)

\(\Leftrightarrow6n+4\inƯ\left(22\right)=\left\{-22,-11,-2,-1,1,2,11,22\right\}\)

mà \(n\inℤ\)nên \(n\in\left\{-1,3\right\}\). 

Thử lại đều thỏa mãn.