Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định. Qua I là điểm cố định thuộc đoạn OA (I không trùng A và O) vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O tại M và N. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN (C không trùng các điểm M, N và B), E I là giao điểm của AC và MN.
1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh AE.AC = AI.AB.
3) Chứng minh khi điểm C thay đổi trên cùng lớn MN của đường tròn tâm O thì tầmđường tròn ngoại tiếp tam giác CME luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn (M khác A, B). Lấy điểm I thuộc đoạn thẳng MB (I khác B, M). Kẻ IH vuông góc với AB (H thuộc AB). Tia AI cắt nửa đường tròn tại N. Tia AM cắt tia BN tại C
b)Gọi K là giao điểm của tia BN và tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O). Khi tứ giác AICK nội tiếp được đường tròn, chứng minh MH vuông góc với MN.
c) Chứng minh rằng: IH/ IC+ IA/ IN+ IB/ IM >6
b) Dễ thấy C là trực tâm của tam giác IAB nên C, I, H thẳng hàng.
Do tứ giác AICK là hình thang nội tiếp được đường tròn nên là hình thang cân.
Khi đó \(\widehat{IAK}=\widehat{CKA}\Rightarrow\widehat{IAB}=\widehat{NBA}\)
Suy ra tam giác NAB vuông cân tại N nên \(\widehat{NBA}=45^o\).
Ta có các tứ giác CMIN, AMIH nội tiếp được nên \(\widehat{NMH}=\widehat{NMI}+\widehat{HMI}=\widehat{ICN}+\widehat{IAB}=45^o+45^o=90^o\Rightarrow MN\perp MH\).
c) Đề phải là \(\dfrac{IC}{IH}+\dfrac{IA}{IN}+\dfrac{IB}{IM}\ge6\).
Đặt \(x=\dfrac{IH}{CH};y=\dfrac{IN}{AN};z=\dfrac{IM}{BM}\left(x,y,z< 1\right)\).
Ta có \(x+y+z=\dfrac{S_{IAB}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{IBC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{ICA}}{S_{ABC}}=1\).
Lại có \(\dfrac{IH}{CH}=x\Rightarrow\dfrac{CH}{IH}=\dfrac{1}{x}\Rightarrow\dfrac{IC}{IH}=\dfrac{1}{x}-1\).
Tương tự \(\dfrac{IA}{IN}=\dfrac{1}{y}-1;\dfrac{IB}{IM}=\dfrac{1}{z}-1\).
Do đó \(\dfrac{IC}{IH}+\dfrac{IA}{IN}+\dfrac{IB}{IM}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-3\ge_{Svacxo}\dfrac{9}{x+y+z}-3=\dfrac{9}{1}-3=6\).
Vậy ta có đpcm.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên bán kính OA, lấy điểm C tùy ý (C khác O và A). Vẽ đường tròn tâm J đường kính AC. Gọi I là trung điểm BC. Qua I vẽ dây cung MN vuông góc BC; AM cắt đường tròn tâm J tại E.
a/ CM CIME nội tiếp.
b/ CM BMCN là hình thoi. Từ đó suy ra ba điểm E, C, N cùng thuộc một đường thẳng.
c/ CM IE là tiếp tuyến của đường tròn tâm J.
d/ Đường tròn tâm M bán kính MI cắt đường tròn tâm O tại P và Q, Gọi H là giao điểm của PQ và MN. Tính tỉ số HM/HN
Cho đường tròn O đường kính AB, M là 1 điểm thuộc OA. Vẽ đường tròn O' đường kính MB, I là trung điểm MA, kẻ dây cung CD vuông góc AB tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn O' tại K. Chứng minh :
a) Ba điểm D, M, K thẳng hàng.
b) IK là tiếp tuyến đường tròn tâm O'
Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB, H là trung điểm của OA. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với OA cắt nửa đường tròn tâm O tại C. Gọi E và F là hình chiếu vuông góc của H trên AC và BC. d) Đường thẳng EF cắt nửa đường tròn tâm O tại M,N. Chứng minh rằng CM = CN
cho đường tròn (O) tâm O, đường kính AB. lấy M là trung điểm của OB, vẽ đường (M) tâm M bán kính MB. gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB. trên (O) lấy điểm D sao cho dây BD cắt d tại N (D không trùng với A và N ). đường thẳng AN cắt (O) tại điểm thứ hai là C, đường thẳng OC cắt (M) tại điểm thứ hai là P a chứng minh tứ giác ADNM là tứ giác nội tiếp b chứng minh cung BC của (O) và cung BP của (M) có độ dài bằng nhau c chứng minh góc MCD = góc AOD
Cho đường tròn (O;R), đường kính AC, trên bán kính OA lấy điểm B tùy ý (B khác O và A). Vẽ đường tròn tâm N đường kính AB. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M vẽ dây DE vuông góc với BC, AD cắt (N) tại I.
a. CM tứ giác BMDI nội tiếp
b. 3 điểm I, B, E thẳng hàng
c. MI là tiếp tuyến của (N)
d. đường tròn tâm D bán kính DM cắt (O) tại P và Q. CM PQ qua trung điểm của MD.
Giúp tớ câu d với
Ta có: ^BIC = 90o (do chắn đk BC)
mà ^OMD = 90o (do DE _|_AB)
=> tg BDMI nội tiếp
Do OA _|_DE tại M => MD=ME (đường kính vuông góc với dây chia đôi dây)
=> ADBE là hình thoi vì có 2 đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường
Ta có ^ADC =90o (do chắn đường kính AC)
=> AD _|_CD
mà BI _|_CD (cm trên)
=> BI//AD (1*)
Do ADBE là hình thoi => BE//AD (2*)
Từ (1*, 2*) => I, B, E thẳng hàng
Cho đường tròn tâm O bán kính R . Tại điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến MA,MB với đường tròn ( A,B là các tiếp điểm ) . Vẽ đường thẳng MCD không đi qua tâm ( C nằm giữa M và D ) . OM cắt AB và (O) tại H , gọi I là trung điểm OM
a) CM 4 điểm M,A,O,B thuộc 1 đường tròn
b) CM: AB vuông góc với OM
a: Xét tứ giác MAOB có
\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
=>MAOB là tứ giác nội tiếp
=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn
b; Xét (O) có
MA,MB là tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB
Cho đường tròn (O; R). Điểm M ở bên ngoài đường tròn sao cho OM= 2R. Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tời đường tròn (A;B là các tiếp điểm). Nối OM cắt AB tại H. Hạ HD vuông góc MA tại D. Điểm C thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O;R) cắt MA, MB lần lượt tại E và F. Đường tròn đường kính BM cắt BD tại I. Gọi K là trung điểm của OA. Chứng minh ba điểm M, I, K thẳng hàng
