Xét đa thức \(F\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(F\left(0\right)=c=2016\)

\(F\left(1\right)=a+b+c=2017\Rightarrow a+b=1\)  (1)

\(F\left(-1\right)=a-b+c=2018\Rightarrow a-b=2\)  (2)

Từ (1), (2)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-a+b=-1\\a+b+a-b=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2b=-1\\2a=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=-0,5\\a=1,5\end{cases}}\)

\(\Rightarrow F\left(2\right)=1,5.2^2-0,5.2+2016=2021\)

Vậy \(F\left(2\right)=2021\).

thay x = 0 vào f ta có:

f(0) = c mà đa thức tại x = 0 là số nguyên

=> c là số nguyên

thay x = 1 vào f ta có:

f(1) = a + b + c mà đa thức tại x = 1 là số nguyên và c là số nguyên

=> a + b là số nguyên

thay x = -1 vào f ta có:

f(-1) = a - b + mà đa thức tại x = -1 là số nguyên và c là số nguyên

=> a - b là số nguyên

ta có: a + b là số nguyên và a - b là số nguyên

=> (a+b) + (a-b) là số nguyên

=> 2a là số nguyên

\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(f\left(2\right)=4a+2b+c=0\)

\(f\left(-2\right)=4a-2b+c=0\)

=> 4a + 2b + c = 4a - 2b + c

=> 2b = -2b

=> 4b = 0

=> b = 0

Từ đề bài , ta có : a = c + 3

Theo f(2) , ta có :

\(f\left(2\right)=4a+0+a+3=0\)

\(f\left(2\right)=5a+3=0\)

\(\Rightarrow a=-\frac{3}{5}\)

Làm tương tự với f(-2) , a cũng giống kết quả

\(\Rightarrow c=a-3=\frac{-3}{5}-3=-\frac{18}{5}\)

Vậy a,b,c lần lượt là ....

f(0) = a.0² + b. 0 + c = 2016

<=> c =2016

f (1) = a.1² + b.1 + c =2017

<=> a + b =1        (1)

f ( -1 ) = a (-1)² + b . (-1) +c =2018

<=> a -b =2           (2)

Từ (1),(2) <=> a = 1,5 ; b = -0,5

=> F(x) = 1,5x²  -0,5 x + 2016

F (2) = 1,5 . 2² -0,5 .2 +2016 

         = 6 -1 +2016 =2021

Ta có: 

\(F\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=2016\)

\(\Rightarrow c=2016\)

\(F\left(1\right)=a.1^2+b.1+c=2017\)

\(\Rightarrow a+b=1\)

\(F\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c=2018\)

\(\Rightarrow a-b=2\)

Vì a + b =1 và a - b = 2 nên \(\Rightarrow a=\frac{3}{2};b=\frac{-1}{2}\)

Vậy \(F\left(2\right)=\frac{3}{2}.2^2-\left(\frac{-1}{2}\right).2+2016=2023\)

Ta có:

\(f\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=0\)

\(=0+0+c=0\Rightarrow c=0\)

\(f\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c=0\)

\(a-b+0=0\)

\(\Rightarrow a-b=0\)

\(\Rightarrow a=b\)

\(f\left(1\right)=a.1^2+b.1+c=0\)

\(\Rightarrow a+b+0=0\)

\(\Rightarrow a+b=0\)

Mà \(a=b\)

\(\Rightarrow a=b=\frac{0}{2}=0\)

Vậy \(a=b=c=0\)

\(f\left(0\right)=2010\Rightarrow a.0^2+b.0+c=2010\Rightarrow c=2010\)

\(f\left(1\right)=2011\Rightarrow a.1^2+b.1+c=2011\Rightarrow a+b+c=2011\)

\(\Rightarrow a+b+2010=2011\Rightarrow a+b=1\) (1)

\(f\left(-1\right)=2012\Rightarrow a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c=2012\)

\(\Rightarrow a-b+c=2012\Rightarrow a-b+2010=2012\)

\(\Rightarrow a-b=2\Rightarrow a=b+2\)

Thế vào (1) \(\Rightarrow b+2+b=1\Rightarrow2b=-1\Rightarrow b=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow a=b+2=-\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x+2010\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right)=\dfrac{3}{2}.\left(-2\right)^2-\dfrac{1}{2}.\left(-2\right)+2010=2017\)

Mình làm theo cách của bài185 trong sách "Nâng cao và phát triển toán 7 tập 2"của tác giả Vũ Hữu Bình nhé :

Vì f(x) chia hết cho 5 với mọi x thuộc Z

=>f(0) = a.\(0^3\)+b.\(0^2\)+c.0+d = d chia hết cho 5 ('1')

=>f(1) = a.\(1^3\)+b.\(1^2\)+c.1+d = a+b+c+d chia hết cho 5 ('2')

=>f(-1) = a.\(\left(-1\right)^3\)+b.\(\left(-1\right)^2\)+c.(-1)+d = -a+b-c+d chia hết cho 5 ('3')

=>f(2) = a.\(2^3\)+b.\(2^2\)+c.2+d = 8a+4b+2c+d chia hết cho 5 ('4')

Lấy (2)-(1) = a+b+c+d-d = a+b+c chia hết cho 5 ('5')

Lấy(2)+(3)-(1) = a+b+c+d-a+b-c+d-d = 2b chia hết cho 5 mà 2 không chia hết cho 5 => b chia hết cho 5 ('6')

Lấy (3)-(1)-(6) = -a+b-c+d-d-b = -a-c chia hết cho 5 ('7')

Lấy ('4')-('1')-4.('6')+2.('7') = 8a+4b+2c+d-d-4b+2(-a-c) = 8a+2c+(-2a)+(-2c) = 6a chia hết cho 5 (vì mỗi số hạng đều chia hết cho 5 đã cm ở trên)

Mà 6 không chia hết cho 5 => a chia hết cho 5 ('8')

Lấy ('7')+('8') = -a-c+a = -c chia hết cho 5 => -1.(-c) = c chia hết cho 5 ('9')

Vậy từ ('1');('2');('8');('9') => f(x) chia hết cho 5 với mọi x thuộc Z thì các hệ số a;b;c;d cũng chia hết cho 5

Để f(x) chia hết cho 5 <=> a.x^3 +b.x^2 +cx +d cũng chia hết cho 5

<=>a.x^3 chia hết cho 5 và b.x^2 chia hết cho 5 và c.x chia hết cho 5 và d chia hết cho 5 (cùng xảy ra 1 lúc)

Mà x là mọi x nên theo tính chất chia hết của 1 tích ta có a,b,c,d phải chia hết cho 5 (đpcm)