Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{ba+bc}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{\left(ab+ac\right)+\left(ba+bc\right)-\left(ca+cb\right)}{2+3-4}=\frac{2ab}{1}\)

Tương tự \(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{2bc}{5}\)

\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{ba+bc}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{2ac}{3}\)

Do đó \(\frac{2ab}{1}=\frac{2bc}{5}\Rightarrow\frac{a}{1}=\frac{c}{5}\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{c}{15}\)

\(\frac{2bc}{5}=\frac{2ac}{3}\Rightarrow\frac{b}{5}=\frac{a}{3}\)

Do vậy \(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{ab+ac}{2}=\frac{ba+bc}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{\left(ab+ac\right)+\left(ba+bc\right)-\left(ca+cb\right)}{2+3-4}=\frac{2ab}{1}$

Tương tự $\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{2bc}{5}$

$\frac{ab+ac}{2}=\frac{ba+bc}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{2ac}{3}$

Do đó $\frac{2ab}{1}=\frac{2bc}{5}\Rightarrow \frac{a}{1}=\frac{c}{5}\Rightarrow \frac{a}{3}=\frac{c}{15}$

$\frac{2bc}{5}=\frac{2ac}{3}\Rightarrow \frac{b}{5}=\frac{a}{3}$

Do vậy $\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}$

nhầm sorry đừng để ý

 Ta có: a²+b²+c²=ab+bc+ca

=>2(a²+b²+c²)=2(ab+bc+ca)

<=>2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ca

<=>2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0

<=>a²+a²+b²+b²+c²+c²-2ab-2bc=2ca=0

<=>(a^a-2ab+b²)+(b²-2bc+b²)+(a²-2ca+c²)=0

<=>(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0

=>hoặc (a-b)²=0 hoặc (b-c)²=0 hoặc (a-c)²=0<=>a-b=0 hoặc b-c=0 hoặc a-c=0<=>a=b hoặc b=c hoặc a=c

=> a=b=c (đpcm)

tham khảo tại link nek:

https://h.vn/hoi-dap/question/500717.html

~ho ktoost~

a+b+c=0 <=> (a+b+c)²=0

<=>a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=0

<=>a²+b²+c²=-2(ab+bc+ca)

<=>(a²+b²+c²)²=[-2(ab+bc+ca)]²

<=>a⁴+b⁴+c⁴+2(a²b²+b²c²+c²a²)=4(a²b²+b²c²+c²a²)

<=>a⁴+b⁴+c⁴=2(a²b²+b²c²+c²a²) (1)

Lại có  (ab+bc+ca)² = a²b²+b²c²+c²a²+2abc(a+b+c) = a²b²+b²c²+c²a² (vì a+b+c=0) (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Ta có: a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca 
<=> 2.a^2 + 2.b^2 + 2.c^2 = 2.ab + 2.bc + 2.ca 
<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc +c^2 ) + ( c^2 - 2ac + a^2 ) =0 
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c -a)^2 =0 (1) 
Vì (a-b)^2 ; (b-c)^2 ; (c -a)^2 ≧ 0 với mọi a,b,c. 
=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c -a)^2 ≧ 0 (2) 
Từ (1) và (2) khẳng định dấu "=" khi: 
a - b = 0; b - c = 0 ; c - a = 0 => a=b=c