Cho \(0\le a,b,c\le2\)và a + b + c = 3 . CMR : \(a^2+b^2+c^2\le5\).
Những câu hỏi liên quan
cho 3 số a,b,c sao cho \(0\le a\le2;0\le b\le2;0\le c\le2\)
và a+b+c=3. chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2\le5\)
cho \(0\le a\le2,0\le b\le2,0\le c\le2\) và a+b+c=3.chứng minh \(a^2+b^2+c^2\le5\)
\(\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\left(a+b+c\right)-8+abc\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge12-8+abc\ge4\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\)
\(\Rightarrow-2\left(ab+bc+ca\right)\le-4\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=9-2\left(ab+bc+ca\right)\le9-4=5\)(Đpcm)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)=0\\abc=0\\a+b+c=3\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\)và hoán vị.
Đúng 0
Bình luận (0)
a = 2 ( t/m )
b = 1 ( t/m )
c = 0 ( t/m )
vậy \(a^2+b^2+c^2\le5\)
Đúng 0
Bình luận (0)
3 tháng 4 2022 lúc 20:53
B1: Cho 0le a,b,cle2 thỏa mãn a+b+c3. CMR: a^2+b^2+c^2le5B2: Cho a,bge0 thỏa mãn a^2+b^2a+b. TÌm GTLN Sdfrac{a}{a+1}+dfrac{b}{b+1}B3: CMR: dfrac{1}{left(x-yright)^2}+dfrac{1}{x^2}+dfrac{1}{y^2}gedfrac{4}{xy}forall xne y,xyne0
Đọc tiếp
B1: Cho \(0\le a,b,c\le2\) thỏa mãn \(a+b+c=3\). CMR: \(a^2+b^2+c^2\le5\)
B2: Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a^2+b^2=a+b\). TÌm GTLN \(S=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}\)
B3: CMR: \(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\forall x\ne y,xy\ne0\)
Bài 3:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)
Đúng 3
Bình luận (4)
Cho 3 số a, b, c sao cho :
\(0\le a\le2\); \(0\le b\le2\); \(0\le c\le2\) và a + b + c = 3.
Chứng minh rằng : \(a^2+b^2+c^2\le5\).
Cho \(0\le a,b,c\le2\) và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2\le5\).
cho \(0\le a,b,c\le2\)và a+b+c=3
chứng minh \(^{a^3+b^3+c^3\le5}\)
cho \(0\le a,b,c\le2\)và a+b+c=3. CMR: a2+b2+c2\(\le\)5
từ giả thuyết suy ra : abc >0
có 2>a,c,b ->> (2-a)(2-b)(2-c)\(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)8+2(ab+ac+bc) -4(a+b+c)-abc \(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)8+2(ab+ac+bc)-4.3-abc \(\ge\)0
\(\Leftrightarrow\)2(ab+ac+bc) \(\ge\)4+abc \(\ge\)4 (1)
Cộng a2+b2+c2 vào (1)
2(ab+ac+bc)+a2+b2+c2\(\ge\)4+a2+b2+c2
(a+b+c)2-4\(\ge\)a2+b2+c2
thay a+b+c=3 vào
9-4\(\ge\)a2+b2+c2
5 \(\ge\)a2+b2+c2
a2+b2+c2 \(\le\)5
Đúng 0
Bình luận (0)
(Hòa Bình)
Cho \(a,b,c\) là ba số thỏa mãn các điều kiện \(0\le a,b,c\le2\) và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2\le5\).
(Bình Định)
Cho \(a,b,c\) là ba số dương. Chứng minh bát đẳng thức sau:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge a^3+b^3+c^3\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel và bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}\ge\frac{3abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}=a^3+b^3+c^3\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c