đúng là ko có bài nào dễ trong ngày hôm nay

Bạn ghi nhỏ lại nhé. Hơn nũa bạn nên tách riêng từng câu hỏi, làm vầy nhiều lắm

a) Ta co :1/5^2+1/6^2+1/7^2+...+1/100^2<1/4.5+1/5.6+1/6.7+...+1/99.100

Dat A=1/4.5+1/5.6+...+1/99.100.   B=1/5^2+1/6^2+...+1/100^2

A=1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+...+1/99-1/100

=1/4-1/100=6/25

Ma1/6<6/25<1/4.Ta lại cóA<6/25    Vậy:1/6<1/5^2+1/6^2+1/7^2+...+1/100^2<1/4

3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² +3ⁿ - 2ⁿ = 3ⁿ . 3² - 2ⁿ. 2² +3ⁿ -2ⁿ

                             = 3ⁿ(3²+1) - (2ⁿ.2² +2ⁿ)

                             =3ⁿ . 10 - 2ⁿ .5

                             =3ⁿ.10 - 2^n-1 .2 .5

                             = 3ⁿ.10 - 2^n-1 .10

                             = 10(3ⁿ - 2^n-1)

vì 10 chia hết cho 10 nên 10(3ⁿ-2^n-1) chia hết cho 10

                         =>  3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² +3ⁿ -2ⁿ chia hết cho 10

Ai làm nhanh nhất mình sẽ **** xin cảm ơn các bạn mình đang cần gấp

Câu 2 nè:

Ta có:2006 = 2.17.59

Để q chia hết cho 2006 thì n(n+1)...(n+9) chia hết cho 2006

Với n<50 thì n, (n+1), ... (n+9) < 59 nên ko thoả mãn.

Với n=50: thì n+1 = 51 chia hết cho 17; n+9=59 chia hết cho 59

suy ra n(n+1)...(n+9) chia hết cho 2006

* Ta sẽ chứng minh n=50 là số tự nhiên nhỏ nhất thoả mãn.

- Đặt S = \(\frac{1}{50}+\frac{1}{51}+...+\frac{1}{59}\)

\(\frac{1}{50}+\frac{1}{51}+...+\frac{1}{58}=\frac{A}{B}\)(trong đó B ko chia hết 59)

\(\Rightarrow S=\frac{A}{B}+\frac{1}{59}=\frac{\left(59A+B\right)}{59B}=\frac{p}{q}\)

hay (59A + B)q = 59Bp hay Bq = 59(Bp - Aq)

Do B ko chia hết 59 suy ra q chia hết 59.

- Đặt \(\frac{1}{50}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{58}=\frac{C}{D}\) ta cũng có D ko chia hết cho 17

Chứng minh tương tự suy ra q chia hết cho 59, 17, 2

=>đpcm

nếu đề có thêm điều kiện n nhỏ nhất thì làm như vậy còn ko thì chỉ chép đến chỗ dấu       "'*"  thui

adu aaaaaaa

xét với mọi n thuộc N thì A:2 vì vậy ta cần tìm n để n:3n 
xét để A: 3 thì n không có dạng 3k+2 để A:3(k thuộc N) 
A=n^2+11n+30 
để A:n thì n thuộc ước 30 mà ước thuộc N của 30 là 
1,2,3,5,6,10,15,30 
trong đó 2,5 có dạng 3k+2 nên ta loại 
vậy n là 1,3,6,10,15,30

câu 2: 

Giả sử $f\left(x\right)=a{\mathrm{x2}}^{}+bx+c$ (do đề bài cho là đa thức bậc hai)
Suy ra

$f\left(x\right)-f(x-1)=a{\mathrm{x2}}^{}+bx+c-a(x-1{)2}^{}-b(x-1)-c=2ax+a+b$

Mà $f\left(x\right)-f(x-1)=x$

$\Rightarrow 2ax+a+b=x$

Do đó $a+b=0$ và $a=1/2$ từ đó ta suy ra $a=1/2;b=-1/2$

Do đó $f\left(x\right)=\backslash (\backslash frac\{x^2\}\{2\}-\backslash frac\{x\}\{2\}+c\backslash )$

$f\left(n\right)=1+2+3+...+n$

Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì:
$f\left(1\right)-f\left(0\right)=1$

$f\left(2\right)-f\left(1\right)=2$

....

$f\left(n\right)-f(n-1)=n$

Do đó

$1+2+...+n=f\left(1\right)-f\left(0\right)+f\left(2\right)-f\left(1\right)+...+f\left(n\right)-f(n-1)=f\left(n\right)-f\left(0\right)=\backslash (\backslash frac\{n^2\}\{2\}-\backslash frac\{n\}\{2\}\backslash )$=\(\frac{n\left(n-1\right)}{2}\)

Câu 3: dặt cái biểu thức giữa =A

A< \(\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+....+\frac{1}{99.100}=\frac{1}{4}-\frac{1}{100}< \frac{1}{4}\)

A> \(\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{100.101}=\frac{1}{5}-\frac{1}{101}>\frac{1}{6}\)

từ 2 cái trên => đpcm