Đặt \(S=36^n-6\)

+Với n=1 => \(S=30=5.6\)thỏa mãn điều kiện đề bài

+Với n>1 :Ta thấy S chia hết cho 5 và 6 và không chia hết cho 4

=> \(S=5\cdot6\cdot.........\)

Do vậy để thỏa mãn đề bài thì S phải chia hết cho 7

Mà \(36^n=\left(6^n\right)^2\)chia 7  luôn dư 0,1,2,3,4

nên S không chia hết cho 7

=> với n>1 thì không có giá trị nào của n thỏa mãn đề bài

Vậy n=1 là giá trị duy nhất thỏa mãn đề bài

1.

\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)

\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)

\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)

Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)

\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)

\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)

\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)

\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)

\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)

\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)

Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)

2.

Đặt \(A=9^n+62\)

Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)

Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)

\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)

Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\)  và \(6m+1\)

\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)

\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)

\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)

Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp

Ta có: \(n^5+n^4+1\)

\(=n^5-n^3+n^2+n^4-n^2+n+n^3-n+1\)

\(=n^2\left(n^3-n+1\right)+n\left(n^3-n+1\right)+\left(n^3-n+1\right)\)

\(=\left(n^3-n+1\right)\left(n^2+n+1\right)\) 

Do \(n^5+n^4+1\) là số nguyên tố nên: \(\left[{}\begin{matrix}n^3-n+1=1\\n^2+n+1=1\end{matrix}\right.\)  trong hai số phải có 1 số là 1 và số còn lại là số nguyên tố:

TH1: \(n^3-n+1=1\)

\(\Leftrightarrow n^3-n=0\)

\(\Leftrightarrow n\left(n^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=1\\n=-1\end{matrix}\right.\)

Với 

\(n=0\Rightarrow0^5+0^4+1=1\) (loại)

\(n=1\Rightarrow1^5+1^4+1=3\) (nhận)

\(n=-1\Rightarrow\left(-1\right)^5+\left(-1\right)^4+1=1\) (loại)

TH1: \(n^2+n+1=1\)

\(\Leftrightarrow n^2+n=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=-1\end{matrix}\right.\left(\text{loại}\right)\)

Vậy \(n=1\) là số thỏa mãn để \(n^5+n^4+1\) là số nguyên tố