a: Xét ΔABD vuông tại D và ΔACD vuông tại D có

AB=AC

AD chung

=>ΔABD=ΔACD

=>BD=CD

=>D là trung điểm của BC

b: Xét ΔAED vuông tại E và ΔAFD vuông tại F có

AD chung

góc EAD=góc FAD

=>ΔAED=ΔAFD

=>AE=AF 

=>ΔAEF cân tại A

c: CI+2AD

=3IK+2*3/2*AK

=3*(IK+AK)>3AI

Bài 2: 

a: Xét ΔABM có 

D là trung điểm của AB

F là trung điểm của AM

Do đó: DF là đường trung bình của ΔABM

Suy ra: DF//BM và \(DF=\dfrac{BM}{2}\)(1)

hay DF//BC

Xét ΔAMC có 

E là trung điểm của AC

F là trung điểm của AM

Do đó: EF là đường trung bình của ΔAMC

Suy ra: EF//MC và \(EF=\dfrac{MC}{2}\left(2\right)\)

hay EF//BC

Ta có: DF//BC

FE//BC

mà DF,FE có điểm chung là F

nên D,F,E thẳng hàng

b: Ta có: M là trung điểm của BC

nên MB=MC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra DF=FE

mà D,F,E thẳng hàng

nên F là trung điểm của DE

bài 1 đề bài có sai ko?

Đề đúng nha bạn

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

a, ΔABD có BA = BD (gt) và ˆABDABD^ = ˆABCABC^ = 

⇒ ΔABD đều (đpcm)

b, ΔABD đều ⇒ AB = AD

Xét ΔAHB và ΔAHD có:

AH chung; AB = AD (cmt); HB = HD (H là trung điểm của BD)

⇒ ΔAHB = ΔAHD (c.c.c)

⇒ ˆAHBAHB^ = ˆAHDAHD^ mà 2 góc này kề bù

⇒ ˆAHBAHB^ = ˆAHDAHD^ = 

⇒ AH ⊥ BD (đpcm)

c, ΔABD đều ⇒ AB  = BD = AD = 2cm

⇒ HB = HD = 1cm

⇒ HC = BC - HB = 5 - 1 = 4cm

ΔAHB vuông tại H ⇒ AH =  =  = cm

ΔAHC vuông tại H ⇒ AC =  =  = cm

a) Xét ΔBAD có BA=BD(gt)

nên ΔBAD cân tại B(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔBAD cân tại B có \(\widehat{ABD}=60^0\)(gt)

nên ΔBAD đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

b) Ta có: ΔBAD đều(cmt)

mà AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BD(gt)

nên AH là đường cao ứng với cạnh BD(Định lí tam giác cân)

hay AH\(\perp\)BD(Đpcm)

a) Xét ΔAHB vuông tại H và ΔDHB vuông tại H có

BH chung

AH=DH(H là trung điểm của AD)

Do đó: ΔAHB=ΔDHB(hai cạnh góc vuông)

⇒AB=DB(hai cạnh tương ứng)(1)

Xét ΔAMB và ΔEMC có 

AM=EM(M là trung điểm của AE)

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC(M là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAMB=ΔEMC(c-g-c)

⇒AB=EC(hai cạnh tương ứng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD=CE(đpcm)

b) Ta có: ΔABH=ΔDBH(cmt)

nên \(\widehat{ABH}=\widehat{DBH}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{ABC}=\widehat{DBC}\)

mà tia BC nằm giữa hai tia BA,BD

nên BC là tia phân giác của \(\widehat{ABD}\)(đpcm)

c) Xét ΔACH vuông tại H và ΔDCH vuông tại H có

CH chung

AH=DH(H là trung điểm của AD)

Do đó: ΔACH=ΔDCH(hai cạnh góc vuông)

⇒CA=CD(hai cạnh tương ứng)

Ta có: BA=BD(cmt)

nên B nằm trên đường trung trực của AD(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: CA=CD(cmt)

nên C nằm trên đường trung trực của AD(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Từ (3) và (4) suy ra BC là đường trung trực của AD(đpcm)

d) Xét ΔBME và ΔCMA có 

BM=CM(M là trung điểm của BC)

\(\widehat{BME}=\widehat{CMA}\)(hai góc đối đỉnh)

ME=MA(M là trung điểm của AE)

Do đó: ΔBME=ΔCMA(c-g-c)

⇒BE=CA(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔABC và ΔECB có 

BC chung

AB=EC(cmt)

CA=BE(cmt)

Do đó: ΔABC=ΔECB(c-c-c)

a: Xét ΔAED có AE=AD
nên ΔAED cân tại A

mà \(\widehat{A}=60^0\)

nên ΔAED đều

b: Xét ΔDEC có DE=DC

nên ΔDEC cân tại D

c: Xét ΔCEA có 

ED là đường trung tuyến

ED=CA/2

Do đó:ΔCEA vuông tại E

hay CE\(\perp\)AB

a: Xét ΔABD và ΔAMD có

AB=AM

\(\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\)

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔAMD

b: Ta có: ΔABD=ΔAMD

=>DB=DM

=>D nằm trên đường trung trực của BM(1)

Ta có: AB=AM

=>A nằm trên đường trung trực của BM(2)

Từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của BM

=>AD\(\perp\)BM tại I và I là trung điểm của BM

c: Xét ΔKBA và ΔKPM có

KB=KP

\(\widehat{BKA}=\widehat{PKM}\)(hai góc đối đỉnh)

KA=KM

Do đó: ΔKBA=ΔKPM

=>\(\widehat{KBA}=\widehat{KPM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//MP

a: ΔABM=ΔACM

=>BM=CM

=> M là trung điểm của BC

b: ΔAMC=ΔAMB

=>góc MAC=góc MAB và AC=AB

=>AM là phân giác của góc BAC 

AB=AC

MB=MC

=>AM là trung trực của BC

=>AM vuông góc BC