Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác 

S là diện tích tam giác

x là độ dài đường cao thứ 3

Ta có: S=\(\frac{1}{2}.3^2.a=\frac{1}{2}.4^3.b=\frac{1}{2}.x.c\)

=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{2S}{9}\\b=\frac{2S}{64}\\c=\frac{2S}{x}\end{cases}}\)

Mà theo bất đặng thức tam giác ta có:

a-b<c<a+b\(\Rightarrow\frac{2S}{9}-\frac{2S}{64}< \frac{2S}{x}< \frac{2S}{9}+\frac{2S}{64}\)=> \(\frac{1}{9}-\frac{1}{64}< \frac{1}{x}< \frac{1}{9}+\frac{1}{64}\Rightarrow\frac{55}{576}< \frac{1}{x}< \frac{73}{576}\)

<=> 7,89<x<10,47

Vì x có độ dài là lập phương của một số tự nhiên 

=> x=8 

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là a,b,c khi đó độ dài đường cao tương ứng là 9,25,m trong đó:\(a,b,c\)là các số thực dương và \(m\in N\)

Theo đề ra,ta có:

\(9a=25b=2S\)(S là diện tích tam giác)

\(\Rightarrow a=\frac{2S}{9},b=\frac{2S}{25},c=\frac{2S}{m}\)

Áp dụng BĐT tam giác ta có:\(a-b< c< a+b\)

\(\Rightarrow\frac{225}{34}< m< \frac{225}{16}\)

\(\Rightarrow m=9\)vì m là số chính phương.

P/S:nếu có lỗi gì đó không nghiêm trọng đến mức sai bài giải,mong mọi người bỏ qua cho.

Ủa  mk tưởng  tam giác vuông  là  trường  hợp  đặc  biệt  cũng  chỉ  có  2 đường  cao  thôi mà ? ??? 

Tam giác vuông vẫn có 3 đường cao mà :vv chỉ là nó ở bên ngoài thôi, tức là mình phải kéo dài ra ý

Gọi độ dài ba đường cao lần lượt là a,b,c

Độ dài 3 cạnh tỉ lệ với 2;3;4

=>2a=3b=4c

=>a/6=b/4=c/3

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{6}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{3}=\dfrac{a+b+c}{6+4+3}=\dfrac{13}{13}=1\)

=>a=6; b=4; c=3