Lời giải:
Đặt $2a=m, a+b=n$ với $m,n$ là số nguyên. Khi đó:

$a=\frac{m}{2}; b=n-\frac{m}{2}$.

Khi đó:

$f(x)=\frac{m}{2}x^2+(n-\frac{m}{2})x+c$ với $m,n,c$ là số nguyên.

$f(x)=\frac{m}{2}(x^2-x)+nx+c=\frac{m}{2}x(x-1)+nx+c$
Với $x$ nguyên thì $x(x-1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên:

$x(x-1)\vdots 2$

$\Rightarrow \frac{m}{2}x(x-1)\in\mathbb{Z}$

Mà: $nx\in\mathbb{Z}, c\in\mathbb{Z}$ với $x,m,n,c\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow f(x)\in\mathbb{Z}$

Ta có đpcm.

a) Để đa thức f(x) có nghiệm là 1 và 3 thì \(1^3-a.1^2-9.1+b=3^3-a.3^2-9.3+b=0\)

=> \(1-a-9+b=27-9a-27+b\)

=> \(-a+9a+b-b=8\Rightarrow8a=8\Rightarrow a=1\)

Từ đó tính được b = 9.

b) Thay kết quả câu a vào f(x) ta được f(x) = \(x^3-x^2-9x+9\)

Đa thức f(x) có nghiệm khi:

\(x^3-x^2-9x+9=x^2\left(x-1\right)-9\left(x-1\right)\)

\(=\left(x^2-9\right)\left(x-1\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-9=0\\x-1=0\end{cases}}\)

Từ đó tìm được tập nghiệm của f(x) là {-3;1;3}.

\(f\left(0\right)=b=3;f\left(-1\right)=-a+b=1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}b=3\\-a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=3\\a=2\end{matrix}\right.\)

f(0)=3 

a.0+b=3

0+b=3

=>b=3

biết b=3

f(-1)=1

a.-1+3=1

-a=1-3

-a=-2

=>a=2

vậy a=2;b=3

bây h giải còn kịp ko bạn. mk làm nhé

ta có f(x)= a.x+b

=> f(1)= a+b=1 => a=1-b; b=1-a   (1)  

f(2)= a.2+b = 4     (2)

Từ 1 và 2 : thay a=1-b

=> (1-b).2+b=4

=>2-2b+b=4

=>2-b.(-1)=4

=>-b=-2

=>b=2

Lại cũng từ 1 và 2 thay b=1-a

=> 2a+1-a=4

=>a+1=4

=>a=3

vậy a=3,b=2

Bạn thay từng số 1,-1,5,-5 vào đa thức f(x)

Nếu số nào thay vào mà f(x)=0 thì số đó là nghiệm của đa thức

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-1\\2a+b=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-4\end{matrix}\right.\)

Ta thay nghiệm x=-1 vào phương trình tổng quát được:

a(-1)²+b(-1) +c=0

=> a-b+c=0 hay a-b=-c  (đpcm)

Áp dụng: ta thấy: a=8 b=11 c=3, a-b+c= 8-11+3=0 

                             => phương trình có một nghiệm là x=-1 

<Mở rộng hơn nữa là phương trình dạng như trên có một nghiệm là -1 và nghiệm còn lại có dạng là -c/a>      

thank bn nha!