Cho tam giác ABC , các điểm E , F thứ tự thuộc các cạnh AC , AB sao cho EF // BC . Lấy P , Q thuộc canh BC sao cho BF < BQ và \(\widehat{PAB}=\widehat{QAC}\) . Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vuông góc của C trên QE và B trên PF . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác AME và ANF cắt nhau tại R khác A . Chứng minh rằng AR đi qua trung điểm của EF .
Những câu hỏi liên quan
Cho hình vuông ABCD cạnh a, E thuộc cạnh BC, F thuộc cạnh AD sao cho: CE=AF. Các đường AE, BF cắt CD theo thứ tự tại M và N.
a) CM: \(CM.DN=a^2\)
b) Gọi MB giao với NA tại K. CM: \(\widehat{MKN}=90\) độ
c) Các điểm E, F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất
a) Theo hệ quả của định lý Thales ta có:
\(\dfrac{DN}{AB}=\dfrac{AF}{FD};\dfrac{CM}{AB}=\dfrac{CE}{EB}\Rightarrow\dfrac{DN}{AB}.\dfrac{CM}{AB}=\dfrac{AF}{FD}.\dfrac{CE}{EB}=1\Rightarrow DN.CM=a^2\).
b) Do \(CM.DN=a^2=AD.BC\Rightarrow\dfrac{CM}{BC}=\dfrac{AD}{DN}\).
Mà \(\widehat{MCB}=\widehat{ADN}=90^o\Rightarrow\Delta NDA\sim\Delta BCM\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AND}=\widehat{MBC}\Rightarrow\widehat{AND}+\widehat{MCB}=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=90^o\Rightarrow\widehat{MKN}=90^o\).
c) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
\(DN+CM\ge2\sqrt{DN.CM}=2a\).
Do đó \(MN=DN+DC+CM\ge2a+a=3a\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi DN = CM \(\Leftrightarrow DN=CM=a\)
\(\Leftrightarrow\) E, F lần lượt là trung điểm của BC, DA.
Đúng 4
Bình luận (0)
1) Cho tam giác ABC, điểm I thuộc đường trung tuyến AM. Gọi E là giao điểm của BI và AC, F là giao điểm của CI và AB. G là trung điểm BF, H là trung điểm CE. CMR: EF//BC 2) Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB12, CD15. Gọi M là trung điểm AB, E là giao điểm CM và AD, F là giao điểm của DM và BC. Tính độ dài EF 3) Cho hình bình hành ABCD, E thuộc AD, F thuộc AB, I thuộc AC. Gọi M là giao điểm FI và CD, K là giao điểm EI và BC. CMR: MK//EF4) Cho tam giác ABC, AB10, AC15, 1 đường thẳng đi qua điểm...
Đọc tiếp
1) Cho tam giác ABC, điểm I thuộc đường trung tuyến AM. Gọi E là giao điểm của BI và AC, F là giao điểm của CI và AB. G là trung điểm BF, H là trung điểm CE. CMR: EF//BC
2) Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB=12, CD=15. Gọi M là trung điểm AB, E là giao điểm CM và AD, F là giao điểm của DM và BC. Tính độ dài EF
3) Cho hình bình hành ABCD, E thuộc AD, F thuộc AB, I thuộc AC. Gọi M là giao điểm FI và CD, K là giao điểm EI và BC. CMR: MK//EF
4) Cho tam giác ABC, AB=10, AC=15, 1 đường thẳng đi qua điểm M thuộc cạnh AB và song song với BC cắt AC ở N sao cho AN=BM. Tính độ dài AM sao cho AM=BN
5) Cho tam giác ABC có AB<AC, đường phân giác AD, lấy I thuộc BC sao cho BI=2 IC. Qua I kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC và AB theo thứ tự ở E và K. CM BK= 2 CE
1, cho điểm O cách đều 3 cạnh trong tam giác ABC. Lấy điểm M thuộc tia BC sao cho BM=BA . Điểm N thuộc CB sao cho CN=CA. gọi D, E, F thứ tự là hình chiếu của O trên BC , AC, AB.Chứng minh rằng:
a, NE=MF
b,tam giác MON cân
2,hình chữ nhật ABCD, M thuộc BD, E thuộc AM sao cho M là trung điểm của AE. Gọi H và K là hình chiếu của E trên BC và CD
a, HK song song AC
B, 3 điểm M, H, K thảng hàng
Cho các điểm M, N, P theo thứ tự thuộc các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC cân tại A sao cho tứ giác MNAP là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của BN và CP. Chứng minh \(\widehat{OMP}\)= \(\widehat{AMN}\)
1.cho tam giác abc các đường phân giác AD,BE,CF gọi I và K là các điểm đối xứng với A qua BE,CF. Gọi G và H thứ tự thứ tự là các điểm đối xứng với B và C qua AD. CMR:GI//HK
2.Cho tam giác ABC, D thuộc BC. Lấy M thuộc AD, lấy I và K thuộc MB và Mc sao cho IB/IM=KC/KM
E là giao điểm của ID với AB. F là giao điểm của KD với AC. CMR EF//BC
Bài 1: Cho tam giác ABC có ABAC. Từ trung điểm M của BC vẽ 1 đường thẳng vuông góc với tia phân giác widehat{A}cắt tia phân giác tại H , cắt AB, AC lần lượt tại các điểm E, F. Chứng Minh:a, BECFb, AEfrac{AB+AC}{2}, BEfrac{AB-AC}{2} c,widehat{BME}frac{widehat{ACB-widehat{B}}}{2}Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm S nằm ngoài tam giác ABC và thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC không chứa B . Trên các tia đối của SA,SB,SC theo thứ tự lấy điểm D,E,F sao cho SASD, SESB, SFSC. CMa, T...
Đọc tiếp
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB>AC. Từ trung điểm M của BC vẽ 1 đường thẳng vuông góc với tia phân giác \(\widehat{A}\)cắt tia phân giác tại H , cắt AB, AC lần lượt tại các điểm E, F. Chứng Minh:
a, BE=CF
b, AE=\(\frac{AB+AC}{2}\), BE=\(\frac{AB-AC}{2}\) c,\(\widehat{BME}\)=\(\frac{\widehat{ACB-\widehat{B}}}{2}\)
Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm S nằm ngoài tam giác ABC và thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC không chứa B . Trên các tia đối của SA,SB,SC theo thứ tự lấy điểm D,E,F sao cho SA=SD, SE=SB, SF=SC. CM
a, Tam giác ABC= tam giác DEF
b, Gọi M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng BC. Trên tia đối của tia SM lấy N sao cho SM=SN. CM 3 điểm E,F,N thẳng hàng
1.Cho tam giác ABC cân tại A có góc A = 100 độ. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho AM=AN. Chứng minh rằng MN song song với BC và BN=CM(vẽ hình giùm mình luôn nha).
2.Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm A,E,F theo thứ tự thuộc các cạnh AB,BC,CA sao ch AD=BE=CF. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đếu
do tam giác abc cân tại a
=>góc abc=180-2*góc a
do am=an
=>tam giác amn can taị a
=>góc amn=180-2*góc a
=>góc amn=góc abc(vì cùng bằng
180-2*góc a)
mà hai góc này ở vị trí so le trong
=>mn song song vs ab
xét 2 tam giác abn và acm có
chung góc a
am=an
ab=ac
=>tg abn=tg acm
=>bm=cm(2 cạnh tương ứng)
cau 2
theo đề bài ta có
tg abc đều =>ab=bc=ca
ad=be=cf
=>ab-ad=bc-be=ac-cf
hay bd=ce=af
xét 3 tg ade,bed và cef ta có
góc a=gócb=gócc
ad=be=cf
bd=ce=af
=> tg ade= tg bed= tg cef
=>de=df=ef
=>tg def là tg đều
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Gọi D là trung điểm của BC, từ D hạ DE, DF vuông góc với AB, AC theo thứ tự (E thuộc AB, F thuộc AC). a) Cm: tam giác AED=AFD và AD là trung trực của EF. b) Trên tia đối của tia DE lấy điểm K sao cho DK=DE. Cm: Tam giác EKC vuông. c) So sánh BF và EK.
a)Ta có : AB = AC
=> △ ABC cân tại A
Xét △ ABC cân tại A có :
AD là đường trung tuyến
=> AD là đường phân giác
Xét △ ADE vuông tại E và △ ADF vuông tại F có :
AD là cạnh chung
DAEˆ=DAFˆDAE^=DAF^ ( AD là đường phân giác )
Vậy △ ADE = △ ADF (ch-gn)
=> AE = AF ( hai cạnh tương ứng )
=> A nằm trên đường trung trực của EF (1)
Lại có : DE = DF ( △ ADE = △ ADF )
=> D nằm trên đường trung trực của EF (2)
Từ (1), (2) => AD là đường trung trực của EF
Mấy câu sau bạn tự làm nhé
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc các cạch AB, AC sao cho \(\widehat{DME}\) = \(\widehat{B}\)
a) Chứng minh BC. CE không đổi.
b) Chứng minh DM là tia phân giác của góc BDE.
c) Tính chu vi tam giác AED nếu tam giác ABC đều.