chứng minh
\(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^3+b^3}{2}\) (\(a,b\ge0\))
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 3 2017 lúc 12:23
Chứng minh rằng :
Nếu \(a;b\ge0\) thì \(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^3+b^3}{2}\)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\left(a^2-ab+b^2\right)\ge a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3}{2}\ge\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c là 3 số thực dương, chứng minh:
\(\frac{3}{2}\le\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\)
BĐT bên trái hiển nhiên là Nesbitt.
BĐT bên phải:
Sau khi quy đồng, phân tích thành nhân tử các kiểu gì đó thì cần chứng minh:
Giả sử 
. Ta cần chứng minh:
Đặt 
thì 
.
Cần chứng minh:
P/s: Bài này SOS bằng tay đẹp lắm mà thôi tạm thời làm biếng nên không SOS, dùng BW cho nhanh:P
SOS của tth_new ghê vãi,đề nghị tth_new check fb giúp t,nói mãi -_-
KMTTQ giả sử \(a\ge b\ge c\)
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}\right)+\left(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(\frac{a}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}\right)+b\left(\frac{b}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}\right)+c\left(\frac{c}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left[\frac{ab+ac-b^2-c^2}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\right]+b\left[\frac{bc+ba-c^2-a^2}{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)}\right]+c\left[\frac{ca+cb-a^2-b^2}{\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left[\frac{b\left(a-b\right)+c\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\right]+b\left[\frac{c\left(b-c\right)+a\left(b-a\right)}{\left(c^2+a^2\right)\left(c+a\right)}\right]+c\left[\frac{a\left(c-a\right)+b\left(c-b\right)}{\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left[\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(b^2+c^2\right)\left(b+c\right)}-\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(c^2+a^2\right)\left(c+a\right)}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma ab\left(a-b\right)\left[\frac{1}{\left(b^2+c^2\right)\left(b+c\right)}-\frac{1}{\left(c^2+a^2\right)\left(c+a\right)}\right]\ge0\) ( đúng )
Vậy ta có ĐPCM
zZz Cool Kid_new zZz đoạn cuối quy đồng lên đê, khỏi giả sử.
Xem thêm tại: https://h o c 2 4 .vn/hoi-dap/question/826398.html
Xem thêm câu trả lời
7 tháng 3 2018 lúc 1:47
1.Cho a,b,c là 3 số dương. Chứng minh :a) frac{a+1}{b+2c+3}+frac{b+1}{c+2a+3}+frac{c+1}{a+2b+3}ge1b) sqrt{frac{a}{7a^2+4}}+sqrt{frac{a}{7b^2+4}}+sqrt{frac{a}{7c^2+4}}le27left(frac{1}{42a+29}+frac{1}{42b+29}+frac{1}{42c+29}right)c) c^2-a^2-b^2le4left(ĐK:2le cle3;frac{b}{2}+frac{3}{c}ge2;a+frac{b}{2}+frac{c}{3}ge3right)2. Chứng minh :a) 2x+sqrt{12-2x^2}le6left(ĐK:6-x^2ge0right)b) sqrt{1-2y-y^2}le y+3left(ĐK:1-2y-y^2ge0right)c) sqrt{5-x^2}+sqrt{5-frac{1}{x^2}}+x+frac{1}{x}ge6left(ĐK:5-x^2ge0;5-frac...
Đọc tiếp
1.Cho a,b,c là 3 số dương. Chứng minh :
a) \(\frac{a+1}{b+2c+3}+\frac{b+1}{c+2a+3}+\frac{c+1}{a+2b+3}\ge1\)
b) \(\sqrt{\frac{a}{7a^2+4}}+\sqrt{\frac{a}{7b^2+4}}+\sqrt{\frac{a}{7c^2+4}}\le27\left(\frac{1}{42a+29}+\frac{1}{42b+29}+\frac{1}{42c+29}\right)\)
c) \(c^2-a^2-b^2\le4\left(ĐK:2\le c\le3;\frac{b}{2}+\frac{3}{c}\ge2;a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}\ge3\right)\)
2. Chứng minh :
a) \(2x+\sqrt{12-2x^2}\le6\left(ĐK:6-x^2\ge0\right)\)
b) \(\sqrt{1-2y-y^2}\le y+3\left(ĐK:1-2y-y^2\ge0\right)\)
c) \(\sqrt{5-x^2}+\sqrt{5-\frac{1}{x^2}}+x+\frac{1}{x}\ge6\left(ĐK:5-x^2\ge0;5-\frac{1}{x^2}\ge0\right)\)
Tịnh tách các bài ra nhé.
Đúng 0
Bình luận (0)
cho \(a\ge0;b\ge0\) và \(a^2+b^2=1\)
chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{2}}\le a^3+b^3\le1\)
ta có: \(a^2+b^2=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le1\\b^2\le1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le a\le1\\0\le b\le1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a^3\le a^2\\b^3\le b^2\end{cases}}.}\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\le a^2+b^2=1\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\le1\) (*)
Mặt khác ta có: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\) (BĐT bu-nhi-a)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\) ( vì a^2 +b^2 =1)
\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2}\) (1)
mà \(\left(a^2+b^2\right)^2\le\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\) (BĐT bu-nhi-a)
\(\Leftrightarrow1\le\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\) (2)
Thay (1) vào(2) ta đc: \(1\le\sqrt{2}\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\) (**)
Từ (*);(**)=> đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
1. Cho a,b0. Chứng minh frac{a}{sqrt{b}}+frac{b}{sqrt{a}}gesqrt{a}+sqrt{b}2. Cho a,b,cinleft[0;1right].Chứng minh aleft(1-bright)+bleft(1-cright)+cleft(1-aright)le13. Cho a,b,c0. Chứng minh frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+frac{c^3}{c^2+ca+a^2}gefrac{a+b+c}{3}4. Cho a,b,c0thỏa mãn frac{1}{1+a}+frac{1}{1+b}+frac{1}{1+c}ge2. Chứng minh abclefrac{1}{8}5. Cho x,yge0thỏa mãn x^3+y^32. Chứng minh x^2+y^2le26. Cho a,b,cne0. Chứng minh frac{a^2}{b^2}+frac{b^2}{c^2}+frac{c^2}{a^2}lefrac{a}{c}+...
Đọc tiếp
1. Cho \(a,b>0\). Chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
2. Cho \(a,b,c\in\left[0;1\right].\)Chứng minh \(a\left(1-b\right)+b\left(1-c\right)+c\left(1-a\right)\le1\)
3. Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
4. Cho \(a,b,c>0\)thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\). Chứng minh \(abc\le\frac{1}{8}\)
5. Cho \(x,y\ge0\)thỏa mãn \(x^3+y^3=2\). Chứng minh \(x^2+y^2\le2\)
6. Cho \(a,b,c\ne0\). Chứng minh \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\le\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\)
7. Cho \(a,b,c\)là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh \(a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a-a^3-b^3-c^3-2abc>0\)
8. Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c\)
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
Đúng 0
Bình luận (0)
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 3
\(VT=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+b-\frac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+c-\frac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+ab+b^2\ge3ab\\b^2+bc+c^2\ge3bc\\c^2+ca+a^2\ge3ca\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\le\frac{a+b}{3}\\\frac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}\le\frac{b+c}{3}\\\frac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\le\frac{c+a}{3}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{a+b}{3}\\b-\frac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}\ge b-\frac{b+c}{3}\\c-\frac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\ge c-\frac{c+a}{3}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)( đpcm )
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
\(a+b+c\le\frac{a^2+b^2}{c}+\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b}\le\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}\)
Cho a;b khác 0. Chứng minh rằng: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\ge0\)
Thêm điều kiện là a,b cùng dấu nha! mình đánh thiếu
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
\(a+b+c\le\frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b}\le\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}\)
Cho \(a+b\ge0\), chứng minh \(\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)
thanks nhìu ạ !
\(\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\le\frac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}\)
\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)