\(\overline{abc}=100a+10b+c=n^2-1;\overline{cba}=100c+10b+a=n^2-4n+4\)

=>99(a-c)=4n-5

=>4n-5 chiahết cho 99

100<=n^2-1<=999

=>101<=n^2<=1000

=>11<=n<=31

=>39<=4n-5<=119

=>4n-5=99

=>n=26

=>\(\overline{abc}=675\)

Giả sử n^2 + 2006 là số chính phuơng thì có thể viết đựoc

dưới dạng n^2 + 2006 = k^2 ( k là số nguyên dương)

<=> 2006 = k^2 - n^2

<=> (k-n)(k+n) = 2006 => (k-n);(k+n) là các ước dương của 2006

n + k 1 2006 2 1003 17 118 59 34
k - n 2006 1 1003 2 118 17 34 59

giải lần lượt như toán tổng hiệu ý

Kết quả không cho số n nào nguyên cả

vì vậy không tồn tại n để n^2 + 2006 là số chính phương

ĐK :0≤b≤9;0<a,c≤9;100≤n2−1≤999⇒11≤n≤31;n∈N0≤b≤9;0<a,c≤9;100≤n2−1≤999⇒11≤n≤31;n∈N

Trừ từng vế pt (1) và (2) ta có 

99(a−c)=4n−599(a−c)=4n−5 Vì (a−c)(a−c) là số tự nhiên nên 4n−54n−5 chia hết cho 99 mà 39≤4n−5≤11939≤4n−5≤119 

⇒4n−5=99⇒n=26⇒abc=262−1=675⇒4n−5=99⇒n=26⇒abc=262−1=675 (nhận) 

Thử lại: cba=576=242=(26−2)2cba=576=242=(26−2)2 ( đúng) 

Giả sử n^2 + 2006 là số chính phuơng thì có thể viết được dưới dạng n^2 + 2006 = k^2 ( k là số nguyên dương)

<=> 2006 = k^2 - n^2

<=> (k-n)(k+n) = 2006

=> (k-n);(k+n) là các ước dương của 2006n + k 1 2006 2 1003 17 118 59 34k - n 2006 1 1003 2 118 17 34 59

giải lần lượt như toán tổng hiệu ý

Kết quả không cho số n nào nguyên cả vì vậy không tồn tại n để n^2 + 2006 là số chính phương