Cho các số a,b,c thỏa mãn abc+ a +b +c > ab +bc +ac +1. Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có ít nhất một số lớn hơn 1
Cho $a$, $b$, $c$ là các số dương thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng nếu $a + b + c > \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c$ thì có một và chỉ một trong ba số $a$, $b$, $c$ lớn hơn $1$.
Tham khảo:
Gỉa sử : a+b+c> 1/a + 1/b + 1/c nhưng không thỏa mãn một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1
*TH1:Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1 suy ra mâu thẫn( vì abc=1)
*TH2: có 2 số lớn hơn 1
Gỉa sử: a>1, b>1, c<1 <=> a-1>0 , b-1>0 , c-1<0
=> (a-1)(b-1)(c-1)<0
=>abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1<0
<=>a+b+c<ab+bc+ca
<=>a+b+c<abc/c+abc/a+abc/b
Thay abc=1 ta được:
a+b+c<1/a+1/b+1/c(mâu thuẫn với giả thuyết nên điều giả sử sai)
=>đpcm
Trường hợp 1: Giả sử ba số , , đều lớn hơn hoặc ba số , , đều nhỏ hơn .
Khi đó
a.b.c (trái với giả thiết).
Trường hợp 2: Giả sử hai trong ba số , , lớn hơn 1.
Không mất tính tổng quát, giả sử và .
Vì nên do đó:
a + b + c < + \(\dfrac{abc}{a}\) + \(\dfrac{abc}{b}\)
⇔ a + b + c < \(\dfrac{1}{c}\) + \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) (mâu thuẫn với giả thiết)
Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số , , lớn hơn
Cho các số abc thỏa mãn abc = 1 và \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) . Chứng minh rằng trong ba số a , b , c có ít nhất 1 số bằng 1
\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)=> \(a+b+c=\frac{ab+bc+ac}{abc}=ab+bc+ac\)
Ta có \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=\left(abc-1\right)+a+b+c-ab-bc-ac=0\)
=> có ít nhất 1 trong 3 số a,b,c bằng 1
Vậy có ít nhất 1 trong 3 số a,b,c bằng 1
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=3 và 1/a + 1/b + 1/c = 1/3. Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c có ít nhất 1 số bằng 3.
Câu hỏi của đàm anh quân lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo cách làm tương tự nhé!
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c = 3 và 1/a + 1/b + 1/c = 1/3. Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c có ít nhất 1 số bằng 3.
Em tham khảo cách làm tương tự như link dưới:
Câu hỏi của đàm anh quân lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=3 và 1/a + 1/b + 1/c = 1/3. Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c có ít nhất 1 số bằng 3.
Câu hỏi của đàm anh quân lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo cách làm như link trên!
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn 3(ab+bc+ac)=1. Chứng minh rằng a/(a^2-bc+1) +b/(b^2-ac+1) + c/(c^2-ab+1) > 1/(a+b+c)
Cho 3 số : a;b;c thỏa mãn a.b.c=1 và a+b+c = 1/a +1/b +1/c. Chứng minh rằng : 3 số trên có ít nhất một số bằng 1.
ta có: \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\)(vì abc=1)
tự phân tích sẽ ra là \(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
suy ra một trong 3 số =1
cho 3 số thực dương a b c thỏa mãn a + b + c = a\(^3\) + b\(3\) + c\(^3\)= 0. chứng minh rằng trong 3 số a,c,b có ít nhất có 1 số bằng 0
Từ a+b+c=0 => b+c=-a
Theo đề ra ta có a3 + b3 + c3 = 0
=> a3 + (b+c)(b2 - bc + c2 )=0
<=> a3- a[(b + c )2 -3bc]= 0
<=> a3- [( -a )2 - 3bc] = 0
<=> a3 - a3 +3bc = 0
<=> 3bc= 0
<=> a =0 hoặc b=0 hoặc c=0 ( đpcm)
cho mik điểm nha bạn ơiii
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn ab + bc + ac = abc và a + b + c = 1 .Chứng minh rằng (a - 1) (b - 1) (c - 1) = 0
Giải:
Biến đổi vế trái, ta được:
(a−1)(b−1)(c−1)(a−1)(b−1)(c−1)
=(ab−a−b+1)(c−1)=(ab−a−b+1)(c−1)
=abc−ab−ac+a−bc+b+c−1=abc−ab−ac+a−bc+b+c−1
=abc−ab−ac−bc+a+b+c−1=abc−ab−ac−bc+a+b+c−1
=abc−(ab+ac+bc)+(a+b+c)−1=abc−(ab+ac+bc)+(a+b+c)−1
Thay ab + ac + bc = abc và a + b + c = 1, ta được:
=abc−abc+1−1=abc−abc+1−1
=0
Ta có:
( a − 1 ) ( b − 1 ) ( c − 1 )
=( ab − a − b + 1) .( c − 1 )
=( abc − ab ) + ( −ac + a ) + ( −bc + b ) + ( c − 1 )
= abc − ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) − 1
= [ abc − ( ab + bc +ca ) ] + [a + b + c − 1 ]
= 0 + 0
=0