Ta có : 

S = ( 5 + 5⁴ ) + ( 5² + 5⁵ ) + ( 5³ + 5⁶ ) + .... + ( 5²⁰⁰³ + 5²⁰⁰⁶ )

   = 5 ( 1 + 5³ ) + 5² ( 1 + 5³ ) + 5³ ( 1 + 5³ ) + .... + 5²⁰⁰³ ( 1 + 5³ )

   = 5 ( 1 + 125 ) + 5² ( 1 + 125 ) + 5³ ( 1 + 125 ) + ... + 5²⁰⁰³ . ( 1 + 125 )

   = 5.126 + 5² .126 + 5³ . 126 + .... + 5²⁰⁰³ . 126

   = 126 ( 5 + 5² + 5³ + ... + 5²⁰⁰³ )

Vì 126 chia hết cho 126 => S chia hết cho 126 ( đpcm )

\(S=5+5^2+5^3+5^4+...+5^{2006}\) 

\(5S=5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^{2007}\)

\(5S-S=\left(5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^{2007}\right)-\left(5+5^2+5^3+5^4+...+5^{2006}\right)\)

\(4S=5^{2017}-5\)

\(S=\frac{5^{2017}-5}{4}\)

\(S=5+5^2+5^3+5^4+....+5^{2006}\)

\(\Rightarrow5S=5\left(5+5^2+5^3+5^4+.....+5^{2006}\right)\)

\(\Rightarrow5S-S=\left(5^2+5^3+....+5^{2007}\right)-\left(5+5^2+5^3+....+5^{2006}\right)\)

\(\Rightarrow4S=5^{2007}-3\)

\(\Rightarrow S=\frac{5^{2007}-3}{4}\)

Ta có: \(S=5+5^2+5^3+...+5^{2012}\)

\(=\left(5+5^4\right)+\left(5^2+5^5\right)+\left(5^3+5^6\right)+...+\left(5^{2007}+5^{2010}\right)+5^{2011}+5^{2012}\)

\(=5.\left(1+5^3\right)+5^2.\left(1+5^3\right)+...+5^{2007}.\left(1+5^3\right)+5^{2011}+5^{2012}\)

\(=5.126+5^2.126+...+5^{2017}.126+6+5^{2011}+5^{2012}\)

\(=126.\left(5+5^2+...+5^{2007}\right)+5^{2011}+5^{2012}\)

Do \(126.\left(5+5^2+...+5^{2007}\right)⋮126\)

\(5^{2011}+5^{2012}⋮̸126\)

\(\Rightarrow126.\left(5+5^2+...+5^{2007}\right)+5^{2011}+5^{2012}⋮̸126\)

hay \(S⋮̸126\)

Vậy ...

ta có : \(S=5+5^2+5^3+...+5^{2012}\) là các số thuộc dạng \(5;10;15...\)

vậy \(S\) chỉ chia hết cho nhửng số có số đuôi là \(5hoặc0\)

mà \(126\) có số đuôi là \(6\)

\(\Rightarrow\) \(S\) không chia hết cho 126 (đpcm)

Số số hạng của dãy S là :(2004-1):1+1=2004

Ta chia 2004 số hạng thành 501 nhóm mỗi nhóm 4 số và đătj thừa số chung như sau:

(5+5^2+5^3+5^4)+........+(5^2001+5^2002+5^2003+5^2004)

=> (5+5^2+5^3+5^4)+........+5^2001*(5+5^2+5^3+5^4)

=>780+..........+5^2001*780

=780*(1+.........+5^2001)

Vì 780 chia hết cho 65 

vậy S chia hết cho 65

Ta có 

\(5S=5^2+5^3+..+5^{2007}=\left(5+5^2+5^3+..+5^{2006}\right)+5^{2007}-5\)

hay \(5S=S+5^{2007}-5\Rightarrow S=\frac{5^{2007}-5}{4}\)

mà 

\(S=\left(5+5^4\right)+\left(5^2+5^5\right)+\left(5^3+5^6\right)+\left(5^7+5^{10}\right)..+\left(5^{2001}+5^{2004}\right)+\left(5^{2005}+5^{2006}\right)\)

hay \(S=126.5+126.5^2+126.5^3+126.5^7+...+126.5^{2001}+6.5^{2005}\)

mà rõ ràng \(126.5+126.5^2+126.5^3+126.5^7+...+126.5^{2001}\)chia hết cho 126

còn \(6.5^{2005}\) không chia hết cho 126 nên S không chia hết cho 126.

ko chia hết được bán nhé nên không chứng minh được

Ta có : S = ( 5 + 5⁴ ) + ( 5² + 5⁵ ) + ( 5³ + 5⁶ ) + .... + ( 5²⁰⁰³ + 5²⁰⁰⁶ )

                = 5( 1 + 5³ ) + 5² ( 1 + 5³ ) + 5³ ( 1 + 5³ ) + .... + 5²⁰⁰³ ( 1 + 5³ )

                = 5 ( 1 + 125 ) + 5² ( 1 + 125 ) + 5³ ( 1 + 125 ) + .... + 5²⁰⁰³ ( 1 + 125 )

                = 5.126 + 5² . 126 + 5³.126 + ..... + 5²⁰⁰³ . 126

                = 126 ( 5 + 5² + 5³ + .... + 5²⁰⁰³ ) ⋮ 126

=> A ⋮ 126 ( đpcm )

Ta có : S = ( 5 + 54 ) + ( 52 + 55 ) + ( 53 + 56 ) + .... + ( 52003 + 52006 )

                = 5( 1 + 53 ) + 52 ( 1 + 53 ) + 53 ( 1 + 53 ) + .... + 52003 ( 1 + 53 )

                = 5 ( 1 + 125 ) + 52 ( 1 + 125 ) + 53 ( 1 + 125 ) + .... + 52003 ( 1 + 125 )

                = 5.126 + 52 . 126 + 53.126 + ..... + 52003 . 126

                = 126 ( 5 + 52 + 53 + .... + 52003 ) ⋮ 126

=> A ⋮ 126 ( đpcm )

S = 5+5²+5³+5⁴+....+5²⁰⁰⁴

S = (5+5²)+(5³+5⁴)+...+(5²⁰⁰³+5²⁰⁰⁴)

S = 1(5+5²)+5²(5+5²)+.....+5²⁰⁰²(5+5²)

S = 1.30 + 5².30 +.....+5²⁰⁰².30

S = 30.(1+5²+....+5²⁰⁰²) chia hết cho 30

=> S chia hết cho 30 (Đpcm)