\(C=4+4^2+4^3+4^4+...+4^{60}\)

\(C=\left(4+4^2\right)+\left(4^3+4^4\right)+...+\left(4^{59}+4^{60}\right)\)

\(C=4\left(1+4\right)+4^3\left(1+4\right)+...+4^{59}\left(1+4\right)\)

\(C=4.5+4^3.5+...+4^{59}.5\)

\(=5\left(4+4^3+...+4^{59}\right)⋮5\)(đpcm)

chia cho 21 hay 85 thì tách ghép tương tự

Bài này viết mũ mệt lắm nên mình chỉ hướng dẫn thôi nhé <3

VD chia hết cho 5 : Ghép 2 số liên tiếp lại với nhau ( mỗi số chỉ được ghép 1 lần ). VD : 4 + 4\(^2\)= 4 . 1 + 4 . 4 = 4 . ( 1 + 4 ) = 4 . 5 \(⋮\)5. Cứ như vậy, số nào cũng chia hết cho 5 rồi kết luận là xong

\(C=\left(2+2^2+...+2^4\right)+\left(2^5+...+2^8\right)+...+\left(2^{97}+...+2^{100}\right)\text{ chia hết cho 31 (dễ)}\)

\(b,2C=4+2^3+....+2^{101}\text{ do đó: }2C-C=C=2^{101}-2=2^{2x-1}-2\text{ do đó:}x=101\)

Nhóm thiếu kìa Khải :v 

a) C = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

= ( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ ) + ( 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰ ) + ... + ( 2⁹⁶ + 2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ )

= 2( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + 2⁶( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + ... + 2⁹⁶( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ )

= 2.31 + 2⁶.31 + ... + 2⁹⁶.31

= 31( 2 + 2⁶ + ... + 2⁹⁶ ) chia hết cho 31 ( đpcm )

b) C = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

2C = 2( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ )

= 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹

C = 2C - C 

= 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹ - ( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ )

= 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹ - 2 - 2² - 2³ - 2⁴ - 2⁵ - 2⁶ + ... - 2⁹⁹ - 2¹⁰⁰

= 2¹⁰¹ - 2

2^2x-1 - 2 = C

<=> 2^2x-1 - 2 = 2¹⁰¹ - 2

<=> 2^2x-1 = 2¹⁰¹

<=> 2x - 1 = 101

<=> 2x = 102

<=> x = 51

 a,

n kog chia hết cho 3. Ta có: n = 3k +1 và n = 3k+2

TH1: n² : 3 <=> (3k+1)² : 3 = (9k²+6k+1) : 3 => dư 1

TH2: n² : 3 <=> (3k+2)² : 3 = (9k²+12k+4) : 3 = (9k²+12k+3+1) : 3 => dư 1 

các phần sau làm tương tự.

1)

a)2⁵¹-1

=(2³)¹⁷-1\(⋮\)2³-1=7

Vậy 2⁵¹-1\(⋮\)7

b)2⁷⁰+3⁷⁰

=(2²)³⁵+(3²)³⁵\(⋮\)2²+3²=13

Vậy 2⁷⁰+3⁷⁰\(⋮\)13

c)17¹⁹+19¹⁷

=(BS18-1)¹⁹+(BS18+1)¹⁷

=BS18-1+BS18+1

=BS18\(⋮\)18

d)36⁶³-1\(⋮\)35\(⋮\)7

Vậy 36⁶³-1\(⋮\)7

36⁶³-1

=36⁶³+1-2

=BS37-2\(⋮̸\)37

Vậy 36⁶³-1\(⋮̸\)37

e)2⁴ⁿ-1

=(2⁴)ⁿ-1\(⋮\)2⁴-1=15

Vậy 2⁴ⁿ-1\(⋮\)15

Bài 1: 

a) P=(a+5)(a+8) chia hết cho 2

Nếu a chẵn => a+8 chẵn=> a+8 chia hết cho 2 => (a+5)(a+8) chia hết cho 2

Nếu a lẽ => a+5 chẵn => a+5 chia hết cho 2 => (a+5)(a+8) chia hết cho 2

Vậy P luôn chia hết cho 2 với mọi a

b) Q= ab(a+b) chia hết cho 2

Nếu a chẵn => ab(a+b) chia hết cho 2

Nếu b chẵn => ab(a+b) chia hết cho 2

Nếu a và b đều lẽ => a+b chẵn => ab(a+b) chia hết cho 2

Vậy Q luôn chia hết cho 2 với mọi a và b

bài 3:n⁵- n= n(n-1)(n+1)(n²+1)=n(n-1)(n+1)(n²+5-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1).

Vì: n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 10                   (1)

ta lại có: n(n+1) là 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2

=> 5n(n-1)n(n+1) chia hết cho 10                                                                     (2)

Từ (1) và (2) => n⁵- n chia hết cho 10

a) a lẻ suy ra a+5 chia hết cho 2

a chẵn suy ra a+8 chia hết cho 2