\(\text{Giải phương trình sau mà không phân tích ra hằng đẳng thức:}\)
\(\left(2x-3\right)^3+\left(2-x\right)^3=\left(x+1\right)^3\)
1. giải phương trình tích:
a) \(\left(x+3\right)\left(x^2+2021\right)=0\)
\(\)2. giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
b) \(x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)=0\)
c) \(\left(x^2-9\right)+\left(x+3\right)\left(3-2x\right)=0\)
d) \(3x^2+3x=0\)
e) \(x^2-4x+4=4\)
`a,(x+3)(x^2+2021)=0`
`x^2+2021>=2021>0`
`=>x+3=0`
`=>x=-3`
`2,x(x-3)+3(x-3)=0`
`=>(x-3)(x+3)=0`
`=>x=+-3`
`b,x^2-9+(x+3)(3-2x)=0`
`=>(x-3)(x+3)+(x+3)(3-2x)=0`
`=>(x+3)(-x)=0`
`=>` $\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-3\end{array} \right.$
`d,3x^2+3x=0`
`=>3x(x+1)=0`
`=>` $\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-1\end{array} \right.$
`e,x^2-4x+4=4`
`=>x^2-4x=0`
`=>x(x-4)=0`
`=>` $\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=4\end{array} \right.$
1) a) \(\left(x+3\right).\left(x^2+2021\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\x^2+2021=0\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x=-3\left(nhận\right)\\x^2=-2021\left(loại\right)\end{matrix}\right. \)
=> S={-3}
Bài 1:
a) Ta có: \(\left(x+3\right)\left(x^2+2021\right)=0\)
mà \(x^2+2021>0\forall x\)
nên x+3=0
hay x=-3
Vậy: S={-3}
Bài 2:
b) Ta có: \(x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy: S={3;-3}
giải phương trình sau
\(\left(x+1\right)^{^3}+\left(x-2\right)^{^3}=\left(2x-1\right)^{^3}\)
Đặt x+1=a; x-2=b
Phương trình trở thành:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=\left(a+b\right)^3\)
\(\Leftrightarrow3ab\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x-2=0\\2x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in\left\{-1;2;\dfrac{1}{2}\right\}\)
\(\left(x+1\right)^3+\left(x-2\right)^3=\left(2x-1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1+x^3-6x^2+12x-8=8x^3-12x^2+6x-1\)
\(\Leftrightarrow2x^3-3x^2+15x-7-8x^3+12x^2-6x+1=0\)
\(\Leftrightarrow-6x^3+9x^2+9x-6=0\)
\(\Leftrightarrow-3\left(2x^3-3x^2-3x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^3+2\right)-\left(3x^2+3x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^3+1\right)-3x\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)-3x\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-2x+2-3x\right)\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-5x+2\right)\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-4x-x+2\right)\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(2x^2-4x\right)-\left(x-2\right)\right]\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[2x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\right]\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)
\(\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)
\(\text{Vậy tập nghiệm phương trình là:}\left\{\dfrac{1}{2};2;\left(-1\right)\right\}\)
Giúp mình với ạ . Cảm ơn nhiều .
1)Giải hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x-3}-\sqrt{y}\text{=}2x-6\\x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\text{=}8xy.\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\end{matrix}\right.\)
2) Giải phương trình : \(\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}.x+6+\sqrt{x+2}\text{=}\sqrt{2-x}+3\sqrt{4-x^2}\)
1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)
Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)
\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)
\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) (*)
Thật vậy, (*)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:
VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)
Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\).
Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)
Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)
tìm x , bt :
\(3\left(x+2\right)^2+\left(2x-1\right)^2-7\left(x+3\right)\left(x-3\right)=36\)36
Áp dụng hằng đẳng thức tìm x
3(x + 2)^2 + (2x - 1)^2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36
=> 3(x^2 + 4x + 4) + 4x^2 - 4x + 1 - 7(x^2 - 9) = 36
=> 3x^2 + 12x + 12 + 4x^2 - 4x + 1 - 7x^2 + 63 = 36
=> 8x + 76 = 36
=> 8x = -40
=> x = -5
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử(sử dụng các hằng đẳng thức)
a)\(16x^2-\left(x^2+4\right)^2\)
b)\(\left(x+y\right)^3+\left(x-y\right)^3\)
a) 16x2 - ( x2 + 4 )2
= ( 4x )2 - ( x2 + 4 )2
= [ 4x - ( x2 + 4 ) ][ 4x + ( x2 + 4 ) ]
= ( -x2 + 4x - 4 )( x2 + 4x + 4 )
= [ -( x2 - 4x + 4 ) ]( x + 2 )2
= [ -( x - 2 )2 ]( x + 2 )2
b) ( x + y )3 + ( x - y )3
= [ ( x + y ) + ( x - y ) ][ ( x + y )2 - ( x + y )( x - y ) + ( x - y )2 ]
= ( x + y + x - y )[ x2 + 2xy + y2 - ( x2 - y2 ) + x2 - 2xy + y2 ]
= 2x( 2x2 + 2y2 - x2 + y2
= 2x( x2 + 3y2 )
Bài 1. Giải các bất phương trình sau 1) \(\dfrac{2x-1}{x+1}-2< 0\) 2) \(\dfrac{x^2-2x+5}{x-2}-x+1\ge0\)
3) \(\dfrac{\left(1+2x\right)\left(x-3\right)}{\left(2x+3\right)\left(1-x\right)}\le0\) 4) \(\left|2x-3\right|>5\) 5)\(\left|1-2x\right|\le4\)
6) \(\left|3x+1\right|>x-2\)
\(\dfrac{2x-1}{x+1}-2< 0.\left(x\ne-1\right).\\ \Leftrightarrow\dfrac{2x-1-2x-2}{x+1}< 0.\Leftrightarrow\dfrac{-3}{x+1}< 0.\)
Mà \(-3< 0.\)
\(\Rightarrow x+1>0.\Leftrightarrow x>-1\left(TMĐK\right).\)
\(\dfrac{x^2-2x+5}{x-2}-x+1\ge0.\left(x\ne2\right).\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2-2x+5-x^2+2x+x-2}{x-2}\ge0.\\ \Leftrightarrow\dfrac{x+3}{x-2}\ge0.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+3\ge0.\\x-2\ge0.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+3\le0.\\x-2\le0.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge-3.\\x\ge2.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\le-3.\\x\le2.\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge2.\\x\le-3.\end{matrix}\right.\)
Kết hợp ĐKXĐ.
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>2.\\x\le-3.\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{\left(1+2x\right)\left(x-2\right)}{\left(2x+3\right)\left(1-x\right)}\le0.\left(x\ne1;x\ne\dfrac{-3}{2}\right).\)
Đặt \(\dfrac{\left(1+2x\right)\left(x-2\right)}{\left(2x+3\right)\left(1-x\right)}=f\left(x\right).\)
Ta có bảng sau:
\(x\) | \(-\infty\) \(-\dfrac{3}{2}\) \(-\dfrac{1}{2}\) \(1\) \(2\) \(+\infty\) |
\(1+2x\) | - | - 0 + | + | + |
\(x-2\) | - | - | - | - 0 + |
\(2x+3\) | - 0 + | + | + | + |
\(1-x\) | + | + | + 0 - | - |
\(f\left(x\right)\) | - || + 0 - || + 0 - |
Vậy \(f\left(x\right)\ge0.\Leftrightarrow x\in\left(\dfrac{-3}{2};\dfrac{-1}{2}\right)\cup\)(1;2].
giải phương trình bằng cách dùng bất đẳng thức côsi
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\\\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)=\left(1+\sqrt[3]{xyz}\right)^3\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
ĐK: $x,y,z\geq 0$
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{(x+1)(y+1)(z+1)}}\)
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)}}\)
Cộng theo vế và thu gọn:
\(3\geq 3.\frac{\sqrt[3]{xyz}+1}{\sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}}\Leftrightarrow (x+1)(y+1)(z+1)\geq (1+\sqrt[3]{xyz})^3\)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Thay vào pt $(1)$ thì suy ra $x=y=z=1$
giải hệ phương trình hai ẩn đối xứng loiaj I bằng cách tách hằng đẳng thức A2 - B2\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(x2-y2\right)\\\left(x+y\right)\left(x2+y2\right)\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\text{(x-y)(x2-y2)=3
}\\(x+y)(x2+y2)=15\end{cases}}
\)
Giải phương trình sau:
\(\left(x+1\right)^2-\left|3-2x\right|+6=\left(x+2\right)^2\)
`(x+1)^2 -|3-2x| +6 = (x+2)^2`
`<=> x^2 +2x +1 -|3-2x| +6 = x^2 +4x +4`
`<=> 2x +7 -4x -4 -|3-2x| =0`
`<=> 3 -2x -|3-2x| =0`
`<=> |3-2x| = 3-2x`
`@` nếu` 3-2x >= 0 => x <= 3/2 => |3-2x| =3-2x`
`=>` PT có dạng
`3-2x =3-2x(luôn-đúng)`
`=>` PT luôn có nghiệm khi `x<=3/2`
`@` nếu` 3-2x <0 => x >3/2 => |3-2x| = 2x-3`
`=> PT có dạng
`2x-3 = 3-2x`
`<=> 2x +2x = 3+3`
`<=> 4x=6`
`=> x = 3/2( loại)`