Cho phương trình \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}+3\sqrt{\left(x-1\right)\left(5-x\right)=m}\) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình trên có nghiệm
1, cho phương trình \(sin2x-\left(2m+\sqrt{2}\right)\left(sinx+cosx\right)+2m\sqrt{2}+1=0\) tìm các giá trị m để phương trình có đúng 2 nghiệm \(x\in\left(0;\dfrac{5\Pi}{4}\right)\)
2,tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(cos2x+\left(2m+1\right)sinx-m-1=0\) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng \(\left(\dfrac{\Pi}{2};\dfrac{3\Pi}{2}\right)\)
3, cho phương trình \(cos^2x-2mcosx+6m-9=0\) tìm các giá trị m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left(-\dfrac{\Pi}{2};\dfrac{\Pi}{2}\right)\)
Cho phương trình \(m^2+m\left(x^2-3x-4-\sqrt{x+7}\right)-\left(x^2-3x-4\right)\sqrt{x+7}=0\) ,với m là tham số.
Có tất cả bao nhiêu số nguyên tố m để phương trình có số nghiệm thực nhiều nhất ?
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow m^2+m\left(x^2-3x-4\right)-m\sqrt{x+7}-\left(x^2-3x-4\right)\sqrt{x+7}=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x^2-3x-4+m\right)-\sqrt{x+7}\left(x^2-3x-4+m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-\sqrt{x+7}\right)\left(x^2-3x-4+m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{x+7}\left(1\right)\\m=-x^2+3x+4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(m\) nguyên tố \(\Rightarrow\) (1) luôn có đúng 1 nghiệm
Để pt có số nghiệm nhiều nhất \(\Rightarrow\) (2) có 2 nghiệm pb
\(\Rightarrow y=m\) cắt \(y=-x^2+3x+4\) tại 2 điểm pb thỏa mãn \(x\ge-7\)
\(\Rightarrow-66\le m\le\dfrac{25}{4}\Rightarrow m=\left\{2;3;5\right\}\)
Cho phương trình: \(\left(x^2-1\right).log^2\left(x^2+1\right)-m\sqrt{2\left(x^2-1\right)}.log\left(x^2+1\right)+m+4=0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-10;10] để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(1\le|x|\le3\)
Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để phương trình \(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}-\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=m\)
có nghiệm
ĐK: \(-3\le x\le6\)
Đặt \(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=t\left(3\le t\le3\sqrt{2}\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=\dfrac{t^2-9}{2}\)
\(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}-\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=m\)
\(\Leftrightarrow m=f\left(t\right)=\dfrac{-t^2+2t+9}{2}\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(minf\left(t\right)\le m\le maxf\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2}\le m\le3\)
có bao nhiêu số nguyên của tham số m để phương trình \(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}-\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=m\) có nghiệm
ĐKXĐ: \(-3\le x\le6\)
Đặt \(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=t\)
Ta có: \(t=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}\ge\sqrt{x+3+6-x}=3\)
\(t\le\sqrt{2\left(x+3+6-x\right)}=3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow3\le t\le3\sqrt{2}\)
Lại có:
\(t^2=9+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}\Rightarrow-\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=\dfrac{9-t^2}{2}\)
Phương trình trở thành:
\(t+\dfrac{9-t^2}{2}=m\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}t^2+t+\dfrac{9}{2}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+t+\dfrac{9}{2}\) trên \(\left[3;3\sqrt{2}\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=1\notin\left[3;3\sqrt{2}\right]\)
\(f\left(3\right)=3\) ; \(f\left(3\sqrt{2}\right)=\dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2}\le f\left(t\right)\le3\)
\(\Rightarrow\) Phương trình có nghiệm khi \(\dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2}\le m\le3\)
Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn
Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình \(x^2-4\sqrt{x^2+1}-\left(m-1\right)=0\) có 4 nghiệm phân biệt
Điều kiện xác định x∈Rx∈R.
Đặt t=√x2+1 (t≥1t≥1)
Phương trình trở thành t2−1−4t−m+1=0
⇔t2−4t=m
⇔t2−4t=m. (1)
Để phương trình có 44 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 11.
Xét hàm số f(t)=t2−4t có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh x=2∈(1;+∞) nên ta có bảng biến thiên:
Dựa BBT ta thấy để (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 11 thì −4<m<−3
Vậy không có giá trị nguyên của mm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho phương trình: \(x^2-\left(2m+5\right)x+2m+1=0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) mà biểu thức M=\(\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:
\(\Delta>0\)
<=> \(\left[-\left(2m+5\right)\right]^2-4.1.\left(2m+1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+12m+21>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+12m+9+12>0\)
<=> \(\left(2m+3\right)^2+12>0\)
Vì (2m+3)2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi m nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi giá trị m.
Theo viét:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+5\\x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)
Theo đề:
\(M=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\) (điều kiện: \(x_1;x_2\ge0\))
=> \(M^2=x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}=2m+5-2\sqrt{2m+1}\)
<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}\right)-2\sqrt{\left(2m+1\right)}+4\)
<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}\right)\left(\sqrt{2m+1}-2\right)+4\)
<=> \(M^2=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+4\ge4\)
=> \(M\ge2\).
Dấu "=" xảy ra khi m = 0
Thế m = 0 vào phương trình ở đề được:
\(x^2-5x+1=0\)
Phương trình này có hai nghiệm dương -> thỏa mãn điều kiện.
Vậy min M = 2 và m = 0
☕T.Lam
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 2021 để phương trình \(4x^2+\left(3-2m\right)x+1+2\sqrt{4x^3+x}=0\) có nghiệm
ĐKXĐ: \(x\ge0\)
- Với \(x=0\) không phải nghiệm
- Với \(x>0\) , chia 2 vế của pt cho \(x\) ta được:
\(\dfrac{4x^2+1}{x}+2\sqrt{\dfrac{4x^2+1}{x}}+3-2m=0\)
Đặt \(t=\sqrt{\dfrac{4x^2+1}{x}}\ge\sqrt{\dfrac{2\sqrt{4x^2}}{x}}=2\)
Pt trở thành: \(t^2+2t+3-2m=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+2t+3=2m\) (1)
Pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm \(t\ge2\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+2t+3\) khi \(t\ge2\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\-\dfrac{b}{2a}=-1< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến khi \(t\ge2\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge f\left(2\right)=11\)
\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi \(2m\ge11\Rightarrow m\ge\dfrac{11}{2}\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ -2020; 2020 ] thỏa mãn phương trình : \(x^2+\left(2-m\right)x+1=2\sqrt{x^3+x}\) có nghiệm ?
ĐKXĐ: \(x\ge0\)
\(x^2+1+\left(2-m\right)x-2\sqrt{x\left(x^2+1\right)}=0\)
Với \(x=0\) ko phải nghiệm, với \(x>0\) chia 2 vế cho x:
\(\Rightarrow\dfrac{x^2+1}{x}+2-m-2\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x}}=0\)
Đặt \(\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x}}=t\ge\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow t^2-2t+2=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-2t+m\) khi \(t\ge\sqrt{2}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\-\dfrac{b}{2a}=1< \sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến khi \(t\ge\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge f\left(\sqrt{2}\right)=4-2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi \(m\ge4-2\sqrt{2}\)