Question

Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để phương trình \(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}-\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=m\)

có nghiệm

Answer 1

ĐK: \(-3\le x\le6\)

Đặt \(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=t\left(3\le t\le3\sqrt{2}\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=\dfrac{t^2-9}{2}\)

\(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}-\sqrt{\left(x+3\right)\left(6-x\right)}=m\)

\(\Leftrightarrow m=f\left(t\right)=\dfrac{-t^2+2t+9}{2}\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(minf\left(t\right)\le m\le maxf\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-9+6\sqrt{2}}{2}\le m\le3\)