Đặt \(N=n^4-2n^3-n^2+2n=n^2\left(n^2-1\right)-2n\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-2n\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)n\left(n-2\right)\)

\(\Rightarrow N\) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 12

Bài 1: 

b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)

\(=4n^2-9-4n^2+36n\)

\(=36n-9⋮9\)

ta có:

n⁴ + 2n³ - n² - 2n

= n⁴ - n³ + 3n³ - 3n² + 2n² - 2n

= (n⁴ - n³) + (3n³ - 3n²) + (2n² - 2n)

= n³(n - 1) + 3n²(n - 1) + 2n(n - 1)

= (n³ + 3n² + 2n)(n - 1)

= (n³ + n² + 2n² + 2n)(n - 1)

= [n²(n + 1) + 2n(n + 1)](n - 1)

= (n² + 2n)(n + 1)(n - 1)

= (n - 1)n(n + 1)(n + 2)

Vì bốn số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 24

=> (n - 1)n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 24

Hay n⁴ + 2n³ - n² - 2n chia hết cho 24

dài quá man's :v

\(A=n^4+2n^3-n^2-2n=n\left(n^3+2n^2-n-2\right)=n\left[\left(n^3-n\right)+\left(2n^2-2\right)\right]\)

\(=n\left[n\left(n^2-1\right)+2\left(n^2-1\right)\right]=n\left(n^2-1\right)\left(n+2\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

vì tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24

<=> A \(⋮24\) --> đpcm

Có: \(n^4+2n^3-n^2-2n=n^2\left(n^2+2n\right)-\left(n^2+2n\right)\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2+2n\right)=\left(n^2-1^2\right)n\left(n+2\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)n\left(n+2\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Mà \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là 4 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\)trong đó có một số chia hết cho 2, có ít nhất một số chia hết cho 3, có ít nhất một số chia hết cho 4

\(\Rightarrow\)\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)chia hết cho \(2\times3\times4\)

\(\Rightarrow\)\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)chia hết cho 24

vậy, \(n^4+2n^3-n^2-2n\)chia hết cho 24