Gọi M là trung điểm BC thì A,G,M thẳng hàng và AG=2GM

Từ B,C vẽ 2 đường thẳng song song với EF cắt AM lần lượt tại D và N

Ta có:

\(\frac{AE}{BE}+\frac{CF}{AF}=\frac{DG}{AG}+\frac{NG}{AG}\)

CMĐ: \(\Delta BDM=\Delta CNM\left(gcg\right)\)

=> DM=MN

Do GD+NG=DG+DG+CM+MN=(DG+DM)+(GM+MN)=2(DM+DM)=2GM=AG

Do đó

\(\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{DG}{AG}+\frac{NG}{AG}=\frac{DG+NG}{AG}=\frac{AG}{AG}=1\)

Gọi M là trung điểm BC

EF cắt BC tại I,khôg mất tíh tổg quát giả sử I nằm trên tia đối tia CB

áp dụg Menelauyt cho 3 điểm thẳg hàg E, G, I thuộc các đ thẳg chứa 3 cạh t/g ABM

\(\frac{EB}{EA}\times\frac{GA}{GM}\times\frac{IM}{IB}=1\)

\(\frac{EB}{EA}=\frac{1}{2}\times\frac{IB}{IM}\)

áp dụg Menelauyt cho 3 điểm thẳg hàg F, G, I thuộc các đ thẳg chứa 3 cạh t/g ACM

\(\frac{FC}{FA}\times\frac{GA}{GM}\times\frac{IM}{IC}=1\)

=>\(\frac{FC}{FA}=\frac{1}{2}\times\frac{IC}{IM}\)

(1)\(\frac{EB}{EA}+\frac{FC}{FA}=\frac{1}{2}\times\frac{\left(IB+IC\right)}{IM}\)

IB =IM +MB =IM +MC (2)

IC =IM -MC (3)

Thay 3) vào (1) ta được

\(\frac{EB}{EA}+\frac{FC}{FA}=\frac{1}{2}\times2=\frac{IM}{IM}=1\)

BN tự kẻ hình nha!!

bn tự vẽ hình đc ko?

Gọi M là trung điểm BC thì A, G, M thẳng hàng và AG = 2GM

Từ B và C vẽ 2 đường thẳng song song với EF cắt AM lần lượt tại D và N.

Ta có  \(\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{DG}{AG}+\frac{NG}{AG}\)

Ta cần c/m DG + NG = AG

Dễ dàng c/m đc  \(\Delta BDM=\Delta CNM\)  (g-c-g)

=> DM = MN

Ta có DG + NG = DG + DG + DM + MN = (DG + DM) + (DG + MN) = 2(DG + DM) = 2GM = AG

Do đó  \(\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{DG}{AG}+\frac{NG}{AG}=\frac{DG+NG}{AG}=\frac{AG}{AG}=1\)

chịu thôi em vừa học có lớp 5

Gọi giao điểm AG với BC là M

Qua B và C kẻ đường thẳng song song với EF cắt AM tại T và V

Áp dụng định lý Thales ta có:\(\frac{BE}{AE}=\frac{TG}{AG};\frac{CF}{AF}=\frac{VG}{AG}\)

Ta có:\(\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{TG}{AG}+\frac{VG}{AG}=\frac{TG+VG}{AG}=\frac{TG+TG+TM+MV}{AG}\)

Dễ chứng minh \(\Delta\)BTM = \(\Delta\)CVM (g.c.g) nên MT=MV

Khi đó:\(\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{2TG+2TM}{AG}=\frac{2\left(TG+TM\right)}{AG}=\frac{2GM}{AG}=1\)

=> ĐPCM