Lời giải:
a. Xét tam giác $ABM$ và $ECM$ có:

$BM=CM$ (do $M$ là trung điểm $BC$)

$AM=EM$ (gt)

$\widehat{AMB}+\widehat{EMC}$ (đối đỉnh) 

$\Rightarrow \triangle ABM=\triangle ECM$ (c.g.c)

b. 

Từ tam giác bằng nhau phần a suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{ECM}$

Mà hai góc này so le trong nên $AB\parallel CE$ 

c.

$AB\perp AC; AB\parallel CE$

$\Rightarrow AC\perp CE$ (đpcm)

a: Xét ΔABM và ΔECM có

MA=ME

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)

MB=MC

Do đó: ΔAMB=ΔEMC

b: Xét tứ giác ABEC có 

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của AE

Do đó: ABEC là hình bình hành

mà \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ABEC là hình chữ nhật

Suy ra: AB//EC

c: Ta có: ABEC là hình chữ nhật

nên EC\(\perp\)AC

Hình vẽ:

Xét △AMD và △CMB

Có: AM = MC (M là trung điểm)

     AMD = CMB (2 góc đối đỉnh)

       MD = MB (gt)

=> △AMD = △CMB (c.g.c)

=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)

b, Xét △ABM và △CDM

 Có: AM = MC (gt)

     BMA = CMD (2 góc đối đỉnh)

      MB = MD (gt)

=> △ABM = △CDM (c.g.c)

=> BAM = DCM (2 góc tương ứng)

Mà BAM = 90^o

=> DCM = 90^o

=> AC ⊥ CD

c, Vì BN // AC (gt)

=> BNC = ACD (2 góc đồng vị)

Mà ACD = 90^o (câu b)

=> BNC = 90^o

Xét tam giác BND vuông tại N có:

NM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BD => NM = 1/2 . BD = BM

Xét △ABM vuông tại A và △CNM vuông tại C

Có: AM = MC (gt)

      BM = MN (cmt)

=> △ABM = △CNM (ch-cgv)

cho tam giác ABC vuông tại A lấy M là trung điểm AC trên tia đối tia MB lấy điểm E sao cho ME=MB

a)chứng minh tam giác AMB=tam giác CME

b)chứng minh CE vuông góc với AC

b1 : 

tự cm tam giác ABC vuông

=> góc ABC + góc ACB = 90 (đl)

BI là pg của góc ABC => góc IBC = góc ABC : 2

CI là pg của góc ACB => góc ICB = góc ACB : 2

=> góc IBC + góc ICB = (góc ABC + góc ACB)  : 2

=> góc IBC + góc ICB = 45

xét tam giác IBC => góc IBC + góc ICB + góc BIC = 180

=> góc BIC = 135

a: Xét tứ giác ABCD có

m là trung điểm chung của AC và BD

=>ABCD là hình bình hành

=>AD//BC

b: ABCD là hình bình hành

=>AB//CD
=>CD vuông góc AC

c: Xét tứ giác ABNC có

AB//NC

AC//BN

=>ABNC là hình bình hành

=>BN=AC; AB=NC

Xét ΔBAM vuông tại A và ΔNCM vuông tại C có

MA=MC

BA=CN

=>ΔBAM=ΔNCM

a: Xét tứ giác ABCD có 

M là trung điểm của AC

M là trung điểm của BD

Do đó: ABCD là hình bình hành

Suy ra: AD=BC

b: ta có: ABCD là hình bình hành

nên CD//AB

hay CD\(\perp\)AC

c: Xét tứ giác ABNC có 

AB//NC

NB//AC

Do đó: ABNC là hình bình hành

SUy ra: CN=AB

Xét ΔABM vuông tại A và ΔCNM vuông tại C có

AB=CN

AM=CM

Do đó: ΔABM=ΔCNM