Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho \(\Delta ABC\) với \(A\in Ox\). Đường trung trực của BC có phương trình \(x+y-3=0\) và trung tuyến CC' có phương trình \(x-2y+1=0\). Viết phương trình đường thẳng BC biết \(S_{ABC}\) lớn nhất và \(x_A\in\left[1;3\right]\)
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có \(A(1;3)\) và hai đường trung tuyến xuất phát từ B,C lần lượt có phương trình \(y-1=0\) và \(x-2y+1=0\)
a) Viết phương trình đường tròn đường kính OA
b) Viết phương trình 3 đường thẳng chứa 3 cạnh của tam giác ABC
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có \(A(-1;-3)\), đương trung trực của cạnh AB có phương trình \(3x+2y-4=0\), trọng tâm\(G(4;-2)\)
a) Viết PTTS,TQ của đt chứa cạnh AB của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh BC tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm B,C của tam giác ABC
Câu 3:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh \(A(3;0)\) và phương trình 2 đường cao \((BB'):2x+2y-9-0\) và \((CC'):3x-12y-1=0\)
a) Viết PTTQ cuả các đt lần lượt chứa các cạnh AB,AC của tam giác ABC
bTìm tọa độ điểm B,C và viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC
Câu 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có pt:\(x^2+16y^2=16\). Tìm tọa độ có đỉnh, tiêu diểm độ dài trục lớn, trục bé của elip (E)
1.
\(\overrightarrow{OA}=\left(1;3\right)\Rightarrow OA=\sqrt{10}\)
Gọi I là trung điểm OA \(\Rightarrow I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)
Phương trình đường tròn đường kính OA nhận I là trung điểm và có bán kính \(R=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\):
\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{2}\)
b.
Gọi 2 trung tuyến là BN và CM (với M, N là trung điểm AB và AC)
B thuộc BN nên tọa độ có dạng: \(\left(b;1\right)\)
M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(\dfrac{b+1}{2};2\right)\)
M thuộc CM nên tọa độ thỏa mãn:
\(\dfrac{b+1}{2}-4+1=0\Rightarrow b=5\Rightarrow B\left(5;1\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)\Rightarrow\) pt AB: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=3-t\end{matrix}\right.\)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\) G là giao điểm BN và CM
Tọa độ G thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(1;1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=-3\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-3;-1\right)\)
Biết tọa độ C, A, B bạn tự viết pt 2 cạnh còn lại
2.
AB vuông góc với trung trực của AB nên nhận (2;-3) là 1 vtpt và (3;2) là 1 vtcp
Phương trình tham số:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+3t\\y=-3+2t\end{matrix}\right.\)
Phương trình tổng quát:
\(2\left(x+1\right)-3\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow2x-3y-7=0\)
b. Câu này tìm trung điểm của AB hay BC nhỉ? Ta chỉ có thể tìm được trung điểm BC sau khi hoàn thành câu c (nghĩa là thứ tự bài toán bị ngược)
Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow\) tọa độ N thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y-7=0\\3x+2y-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(2;-1\right)\)
N là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_N-x_A=5\\y_B=2y_N-y_A=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(5;1\right)\)
G là trọng tâm tam giác nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=8\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(8;-4\right)\)
\(\Rightarrow M\left(\dfrac{13}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)
Câu 3 đơn giản bạn tự làm (AC vuông góc BB' nên nhận (1;-1) là 1 vtpt, AB vuông góc CC' nên nhận (4;1) là 1 vtpt).
Câu b thì B là giao điểm AB và BB', C là giao điểm AC và CC'
Câu 4.
\(x^2+16y^2=16\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{1}=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow c^2=15\Rightarrow c=\sqrt{15}\)
Các đỉnh có tọa độ lần lượt: \(\left(4;0\right);\left(-4;0\right);\left(0;1\right);\left(0;-1\right)\)
Tiêu điểm: \(F_1\left(-\sqrt{15};0\right);F_2\left(\sqrt{15};0\right)\)
Độ dài trục lớn: \(2a=8\)
Độ dài trục bé: \(2b=2\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho \(_{\Delta ABC}\) có đường cao AH : 3x-y+8=0 , trung tuyến AM: 3x+y-2=0 biết H,M thuộc đoạn BC , \(\widehat{BAH}=\widehat{MAC}\) và \(BC=3\sqrt{10}\) .Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC
Gọi N là trung điểm AB
Trong tam giác vuông ABH, HN là trung tuyến ứng với cạnh huyền
\(\Rightarrow HN=\dfrac{1}{2}AB=AN\Rightarrow\Delta AHN\) cân tại N
\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{AHN}=\widehat{MAC}\) (1)
Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình \(\Rightarrow MN||AC\) (2)
\(\Rightarrow\widehat{NMA}=\widehat{MAC}\) (3)
(1);(3) \(\Rightarrow\widehat{AHN}=\widehat{NMA}\) \(\Rightarrow\) tứ giác AMHN nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{ANM}=\widehat{AHM}=90^0\) (cùng chắn AM) hay \(MN\perp AB\) (4)
(2);(4) \(\Rightarrow AB\perp AC\) hay tam giác ABC vuông tại A
Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+8=0\\3x+y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(-1;5\right)\)
AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}\)
Từ vecto pháp tuyến của AM và AM ta có:
\(cos\widehat{HAM}=\dfrac{\left|3.3-1.1\right|}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}.\sqrt{3^2+1^2}}=\dfrac{4}{5}\)
\(\Rightarrow AH=AM.cos\widehat{HAM}=\dfrac{6\sqrt{10}}{5}\)
Do H thuộc AH nên tọa độ có dạng: \(H\left(a;3a+8\right)\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\left(a+1;3a+3\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2+\left(3a+3\right)^2=\left(\dfrac{6\sqrt{10}}{5}\right)^2\)
\(\Rightarrow\) Giải ra a \(\Rightarrow\) tọa độ H \(\Rightarrow\) phương trình BC qua H và vuông góc AH nên nhận \(\left(1;3\right)\) là 1 vtpt
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(-1;3) và B(3;1), C(2;-2)
a) Viết phương trình đường trung tuyến CM của tam giác ABC
b) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A, B và có tâm I thuộc đường thẳng (): 3x-y-2=0
c) Viết phương trình đường thẳng (d1), biết (d1) song song với (d2): x-2y-1=0 và (d1) tiếp xúc với (C1): x^2+y^2-6x+4y+8=0
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x-2y-3=0 và 6x-y-4=0. Phương trình đường thẳng AC là:
A.3x-4y-5=0
B.3x+4y+5=0
C.3x-4y+5=0
D.3x+4y-5=0
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M ( 2 ; 0 ) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7 x - 2 y - 3 = 0 và 6 x - y - 4 = 0 . Phương trình đường thẳng AC là
A. 3 x - 4 y - 5 = 0
B. 3 x + 4 y + 5 = 0
C. 3 x - 4 y + 5 = 0
D. 3 x + 4 y - 5 = 0
trong mặt phẳng oxy , cho tam giác ABC có A thuộc đường thẳng d: x-4y-2=0. đường thẳng BC song song với d, phương trình đường cao BH: x+yi+3=0. Trung điểm AC làM1,1;. viết phương trình các cạnhcủa tam giác ABC
AC vuông góc BH nên nhận (1;-1) là 1 vtpt
Phương trình AC:
\(1\left(x-1\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-y=0\)
A thuộc AC và d nên tọa độ A là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-4y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(-\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3}\right)\)
M là trung điểm AC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_M-x_A=\dfrac{8}{3}\\y_C=2y_M-y_A=\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3}\right)\)
BC song song d nên nhận (1;-4) là 1 vtpt
Phương trình BC:
\(1\left(x-\dfrac{8}{3}\right)-4\left(y-\dfrac{8}{3}\right)=0\Leftrightarrow x-4y+8=0\)
B là giao điểm của BC và BH nên tọa độ thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-4y+8=0\\x+y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-4;1\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=...\Rightarrow\) phương trình đường thẳng AB
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường cao AH : 3x-y+8=0 và đường trung tuyến AM: 3x+y-2=0 . Biết H, M thuộc BC ,\(\widehat{BAH}=\widehat{MAC}\) và \(BC=3\sqrt{10}\) . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC.
Câu 60: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là x - y - 2 = 0 , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là x + 2y - 5 = 0 . Biết trọng tâm của tam giác là điểm G(3; 2) và phương trình đường thẳng chứa cạnh BC có dạng mx + ny + 7 = 0 . Giá trị của biểu thức T = m - n là ...
Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-2=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(3;1\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3x_G\\y_A+y_B+y_C=3y_G\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=6\\y_B+y_C=5\end{matrix}\right.\) (1)
B thuộc AB nên: \(x_B-y_B=2\Rightarrow x_B=y_B+2\)
C thuộc AC nên: \(x_C+2y_C-5=0\Rightarrow x_C=-2y_C+5\)
Thế vào (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B+2-2y_C+5=6\\y_B+y_C=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B=3\Rightarrow x_B=5\\y_C=2\Rightarrow x_C=1\end{matrix}\right.\)
Phương trình BC: \(\dfrac{x-5}{1-5}=\dfrac{y-3}{2-3}\Leftrightarrow x-4y+7=0\)
Bài tập 1. Cho tam giác ABC có A(2;0),B(0;4) , C(1;3) , đường thẳng Delta / 3 * x - y - 2 = 0 . a. Viết phương trình đường cao AH . b. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC. c. Viết phương trình đường thẳng AB. d. Viết phương trình đường thẳng qua C và có hệ số góc k = - 3 . e. Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC. f. Viết phương trình đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB. g. Viết phương trình đường thẳng qua B và vuông góc với Delta h. Viết phương trình đường thẳng qua C, cắt các tia Ox,Oy^ prime lần lượt tại M, N sao cho OM = 2ON . i. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên Delta.