\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+x\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{x+y+x}{2}=1\)

Dấu ' =' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

bài này esay thôi:

ta có \(x+y+z\le3\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le9.\)

Ta lại có:\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+zx+zy\right)\)

\(\Leftrightarrow9\ge3\left(xy+yz+xz\right)\Leftrightarrow3\ge xy+xz+yz\)

Ta có:

\(VT=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+zx+zy}+\frac{1}{xy+yz+xz}+\frac{2010}{xy+xz+yz}\)

\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{2010}{xy+yz+xz}\)\(\ge\frac{9}{3^2}+\frac{2010}{3}=1+670=671\left(đpcm\right).\)

Dấu = xay ra khi \(x=y=z=1\)

Cho mình hỏi lầu trên cái, esay là gì thế? Bạn đánh nhầm từ easy phải không?

+) Với các số nguyên dương x, y,z ta có \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)

                                                          \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\) 

                                                           \(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\) 

Cộng từng vế của các bđt trên ta được \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)(*)

+) ta dễ dàng chứng minh được điều sau: Cho x,y, z dương. Nếu \(\frac{x}{y}

\(\rightarrow\)Ta có: \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

                                           \(\Rightarrow\) \(1< \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\)

\(\rightarrow\)Tương tự như trên, ta có đẳng thức: \(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}>\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{y+z+x}+\frac{x}{z+x+y}=\frac{y+z+x}{y+z+x}=1\)

Mà \(\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\right)+\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\right)=3\)

Kết hợp các Bất đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh.

Áp dụng bđt AM-GM ta có :

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\) (do x+y+z=2) 

Vậy ....

Áp dụng bđt Cô-si vào các số x,y,z dương:

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{y+z}\cdot\dfrac{y+z}{4}}=x\) 

Chứng minh tương tự :\(\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{x+z}{4}\ge y\) , \(\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\ge z\) 

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge x+y+z\) 

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=1\) 

Dấu bằng xảy ra của cả 2 cách là x=y=z=\(\dfrac{2}{3}\)

Mik đã viết ra cả 2 cách nên bạn thấy cách nào dễ hiểu  thì làm cách đó

A=\(\frac{x+y-y}{x+y}+\frac{y+z-z}{y+z}+\frac{z+x-x}{x+z}\)

A=\(3-\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)\)

Mà :\(\frac{x}{x+z}>\frac{x}{x+y+z};\frac{x}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\)

=> A < 2                                        (1)

Mặt khác A=\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}\)

Mà \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z};\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\)

=>A > 1                                       (2)

Từ (1) và (2)=> 1 < A < 2 <=> A không phải là số nguyên

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{z^2}+\dfrac{z^3}{x^2}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\right)^2\)

Cần chứng minh \(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge x+y+z\)

Dễ thấy;\(VT=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=x+y+z\)

BĐT được chứng minh

\("="\Leftrightarrow x=y=z\)