f(x) = x⁴ + 6x³ +11x² + 6x 

\(=x^4+x^3+5x^3+5x^2+6x^2+6x\)

\(=\left(x^4+x^3\right)+\left(5x^3+5x^2\right)+\left(6x^2+6x\right)\)

\(=x^3\left(x+1\right)+5x^2\left(x+1\right)+6x\left(x+1\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(x^3+5x^2+6x\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left[x^2+2x+3x+6\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left[\left(x^2+2x\right)+\left(3x+6\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left[x\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

b)Ta có

\(f\left(x\right)+1=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)

\(=\left[x\left(x+3\right)\right].\left[\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right]+1\)

\(=\left(x^2+3x\right).\left(x^2 +3x+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x+1-1\right).\left(x^2+3x+1+1\right)+1\)

\(=\left[\left(x^2+3x+1\right)-1\right].\left[\left(x^2+3x+1\right)+1\right]+1\)

\(=\left(x^2+3x+1\right)^2-1+1=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

Vậy với mọi x nguyên thì f(x) + 1 luôn có giá trị là 1 số chính phương 

Bài 1:

\(\left\{{}\begin{matrix}xy+2=2x+y\left(1\right)\\2xy+y^2+3y=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Rightarrow xy-y+2-2x=0\)

\(\Rightarrow y\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Với \(x=1\). Thay vào (2) ta được:

\(2y+y^2+3y=6\)

\(\Leftrightarrow y^2+5y-6=0\)

\(\Leftrightarrow y^2+y-6y-6=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)-6\left(y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=6\end{matrix}\right.\)

Với \(y=2\). Thay vào (2) ta được:

\(2x.2+2^2+3.2=6\)

\(\Leftrightarrow4x+4+6=6\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x,y) \(\in\left\{\left(1;-1\right),\left(1;6\right),\left(-1;2\right)\right\}\)

Bài 2:

\(f\left(x\right)=x^4+6x^3+11x^2+6x\)

\(=x\left(x^3+6x^2+11x+6\right)\)

\(=x\left(x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6\right)\)

\(=x\left[x^2\left(x+1\right)+5x\left(x+1\right)+6\left(x+1\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+3x+2x+6\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left[x\left(x+3\right)+2\left(x+3\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

b) Ta có: \(f\left(x\right)+1=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)

\(=x\left(x+3\right).\left(x+1\right)\left(x+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x\right).\left(x^2+3x+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x\right)^2+2\left(x^2+3x\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

Vì x là số nguyên nên \(f\left(x\right)+1\) là số chính phương.

Tìm 2 giá trị của x để hàm \(f\left(x\right)\) nhận kết quả trái dấu là được.

a.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)

Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-1< 0\) (chọn \(x=0\) do nó làm triệt tiêu tham số m, thường sẽ ưu tiên chọn những giá trị x kiểu thế này. Ở câu này, có đúng 1 giá trị x khiến m triệt tiêu nên phải chọn thêm)

\(f\left(-1\right)=m^2-1+6-1=m^2+4>0\) với mọi m (để ý rằng ta đã có \(f\left(0\right)\) âm nên cần chọn x sao cho \(f\left(x\right)\) dương, mà \(-m^2\) nên ta nên chọn x sao cho nó chuyển dấu thành \(m^2\))

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc  \(\left(-1;0\right)\) với mọi m

Hay với mọi m thì pt luôn luôn có nghiệm

b.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+m+5\right)\left(3-x\right)^{2021}x+x-4\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-4< 0\) 

(Tới đây, nếu ta chọn tiếp \(x=3\) để triệt tiêu m thì cho \(f\left(3\right)=-1\) vẫn âm, ko giải quyết được vấn đề, nên ta phải chọn 1 giá trị khác. Thường trong những trường hợp xuất hiện \(m^2\) thế này, cố gắng chọn x sao cho hệ số của \(m^2\) dương (nếu cần \(f\left(x\right)\) dương, còn cần \(f\left(x\right)\) âm thì chọn x sao cho hệ số \(m^2\) âm). Ở đây dễ nhất là chọn \(x=2\) , vì khi đó \(\left(3-2\right)^{2021}=1\) vừa đảm bảo hệ số \(m^2\) dương vừa dễ tính toán, nếu chọn \(x=1\) cũng được thôi nhưng quá to sẽ rất khó biến đổi)

\(f\left(2\right)=\left(m^2+m+5\right).\left(3-2\right)^{2021}.2+2-4=2\left(m^2+m+5\right)-2\)

 \(=2m^2+2m+8=2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{2}>0;\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(2\right)< 0;\forall m\Rightarrow\) hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;2\right)\) với mọi m

Hay pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Dạ em cảm ơn thầy nhiều ạ!

\(f\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)+1\)  

\(f\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)+1\)

\(f\left(x\right)=\left(x^2+5x+2x+10\right)\left(x^2+4x+3x+12\right)+1\)

\(f\left(x\right)=\left(x^2+7x+10\right)\left(x^2+7x+12\right)+1\)

\(f\left(x\right)=\left(x^2+7x+11-1\right)\left(x^2+7x+11+1\right)+1\)

\(f\left(x\right)=\left(x^2+7x+11\right)^2-1+1\)

\(f\left(x\right)=\left(x^2+7x+11\right)^2\Leftrightarrowđpcm\)

ƒ (x)=(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1  

ƒ (x)=(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)+1

ƒ (x)=(x2+5x+2x+10)(x2+4x+3x+12)+1

ƒ (x)=(x2+7x+10)(x2+7x+12)+1

ƒ (x)=(x2+7x+11−1)(x2+7x+11+1)+1

ƒ (x)=(x2+7x+11)2−1+1

ƒ (x)=(x2+7x+11)2⇔đpcm

Bạn ơi hình như đề cho thừa thì phải 

Vì nếu bạn thay x=2 thì f(x) ko cp

Sửa lại đề rùi nói cho mk , mk làm cho nha 

cmr a(a+1)(a+2)(a+4)(a+5)(a+6)+36 là số chính phương với mọi a nguyên

Ta có: x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + 1

= x(x³ + 6x² + 11x + 6) + 1

= x(x³ + 3x² + 3x² + 9x + 2x + 6) + 1

= x[x²(x + 3) + 3x(x + 3) + 2(x + 3)] + 1

= x(x + 3)(x² + 3x + 2) + 1

= (x² + 3x)(x² + 3x + 2) + 1

=> (x² + 3x + 1 - 1)(x² + 3x + 1 + 1) + 1

= (x² + 3x + 1)² - 1 + 1

= (x² + 3x + 1)²

=> x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + 1 là số chính phương

Giả sử pt có nghiệm thì nghiệm đó k phải là 0. Vì vậy ta có:

\(x^4+6x^3+11x^2+6x+1=x^2\left(x^2+6x+11+\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=x^2\left[\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+11\right]\)

\(=x^2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+11\right]\)

\(=x^2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+9\right]\)

\(=x^2\left(x+\frac{1}{x}+3\right)^2=\left(x^2+3x+1\right)^2\) là scp

\(x\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)+9\)

\(=\left(x^2+5x\right)\left(x^2+5x+6\right)+9\)

Đặt \(x^2+5x+3=a\),ta có

\(\left(a-3\right)\left(a+3\right)+9\)

\(=a^2-9+9\)

\(=a^2\)

Vậy biểu thức đã cho là số chính phương

Để C có giá trị là một số nguyên 

⇒ 6x-1 : 3x+2

    3x+2 : 3x+2 

⇒ 6x-1 : 3x+2

    2(3x+2) : 3x+2

⇒ 6x-1 : 3x+2

    6x+4 : 3x+2

⇒ (6x+4) - (6x-1) :3x+2

⇒  6x+4 - 6x+1 : 3x+2

⇒  5 : 3x+2

⇒3x+2 thuộc Ư(5) = 5;-5;-1;1

⇒x = 1;-1

Một cọng b