\(\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}}{\sqrt{x+y+z}}\)

Đặng Viết Thái tử đúng rồi còn mẫu không có căn

\(x = { \sqrt{x^2+1} + \sqrt{y^2+1} + \sqrt{z^2+1} \over x + y+z}\)

Các bất đẳng thức đúng : \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Áp dụng ta được :

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}\)

Ta có :

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

\(\frac{3}{2xy}\ge\frac{3}{2.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{3}{2.\frac{1}{4}}=6\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}\ge4+6=10\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=10\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

thangwd hdashdfjdfishjdf

\(xy+yz+zx\le\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2=\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

\(A\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{2xy}\) (Cauchy-Schwarz dạng phân thức)

Theo AM- GM :\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow1\ge4xy\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4xy}\ge1\Rightarrow\frac{1}{2xy}\ge2\)

\(\Rightarrow A\ge4+2=6\)

\(''=''\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Nguyễn Thị Diễm Quỳnhtran nguyen bao quanHoàng Đình BảoRibi Nkok NgokYHoàng Tử HàHà?Amanda?Nguyễn Thị Ngọc Thơhuynh thi huynh nhuLuân ĐàoPhạm Hoàng Hải AnhNguyễn Phương TrâmNguyễn Huy TúAkai HarumaLightning FarronNguyễn Thanh HằngMysterious Personsoyeon_Tiểubàng giảiVõ Đông Anh TuấnPhương AnTrần Việt Linh

ta có : \(\left(x+y-1\right)^2=xy\Leftrightarrow x^2+y^2+xy-2x-2y+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+xy-1=0\)

\(0=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+xy-1\ge xy-1\)

\(\Leftrightarrow xy\le1\)

mà \(xy=\left(x+y-1\right)^2\le1\Leftrightarrow-1\le x+y-1\le1\)

\(\Leftrightarrow0\le x+y\le2\).

\(VT=\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy dạng phân thức:

\(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{4}{4}=1\)(*)

vì \(xy\le1\)nên \(\sqrt{xy}\ge xy\)( đúng vì nó tương đương \(\sqrt{xy}\left(1-\sqrt{xy}\right)\ge0\))

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\ge\dfrac{1}{2\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2}\)( vì \(x+y\le2\))

Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(\dfrac{1}{2\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{2\sqrt{xy}}.\dfrac{\sqrt{xy}}{2}}=1\)(**)

từ (*) và (**) ta có \(VT\ge1+1=2\)

đẳng thức xảy ra khi x=y=1