a) Xét ΔABC có 

BM là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CM}{BC}\)

hay \(\dfrac{AM}{CM}=\dfrac{AB}{BC}\)(1)

Xét ΔABC có 

CN là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)

nên \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{BN}{BC}\)

hay \(\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AC}{BC}\)(2)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên AB=AC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AM}{MC}\)

hay MN//BC(Đpcm)

b) Ta có: \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CM}{BC}\)(cmt)

nên \(\dfrac{AM}{5}=\dfrac{CM}{6}\)

mà AM+CM=AC(M nằm giữa A và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AM}{5}=\dfrac{CM}{6}=\dfrac{AM+CM}{5+6}=\dfrac{AC}{11}=\dfrac{5}{11}\)
Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AM}{5}=\dfrac{5}{11}\\\dfrac{CM}{6}=\dfrac{5}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\dfrac{25}{11}\left(cm\right)\\CM=\dfrac{30}{11}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC có MN//BC(cmt)

nên \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AC}\)(Hệ quả Định lí Ta lét)

\(\Leftrightarrow\dfrac{MN}{6}=\dfrac{25}{11}:5=\dfrac{25}{11}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{11}\)

hay \(MN=\dfrac{30}{11}\left(cm\right)\)

c) Nửa chu vi của ΔABC là:

\(P_{ABC}=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{5+5+6}{2}=\dfrac{16}{2}=8\left(cm\right)\)

Diện tích tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\sqrt{8\cdot\left(8-5\right)\cdot\left(8-5\right)\cdot\left(8-6\right)}=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=\sqrt{16\cdot9}=4\cdot3=12\left(cm^2\right)\)

Ta có: ΔANM∼ΔABC(gt)

nên \(\dfrac{S_{ANM}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AM}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{5}{11}\right)^2=\dfrac{25}{121}\)

\(\Leftrightarrow S_{ANM}=\dfrac{25}{121}\cdot12=\dfrac{300}{121}\left(cm^2\right)\)

a, Vì CN là phân giác ^C nên : \(\frac{AC}{BC}=\frac{AN}{NB}\)( t/c ) \(\Rightarrow\frac{AC}{AN}=\frac{BC}{NB}\)( tỉ lệ thức )

Vì BM là phân giác ^B nên : \(\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC}\)( t/c ) \(\Rightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{MC}\)( tỉ lệ thức )

mà \(AB=AC\)( do tam giác ABC cân ) suy ra : \(\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}\)

Vậy MN // BC ( theo talét đảo ) 

bổ sung hộ mình phần a là NB = MC ( do là phân giác mà tam giác ABC cân )

b, Xét tam giác ANC và tam giác AMB ta có : 

^A _ chung 

\(\frac{AC}{AN}=\frac{AB}{AM}\)( cma ) 

Vậy tam giác ANC ~ tam giác AMB ( c.g.c ) 

c, Ta có : \(\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC}\Rightarrow\frac{MC}{BC}=\frac{AM}{AB}\)( tỉ lệ thức )

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{MC}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{MC+AM}{AB+BC}=\frac{5}{5+11}=\frac{5}{16}\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{5}=\frac{5}{16}\Rightarrow AM=\frac{25}{16}\)cm 

Vì MN // BC ( cma ) Theo hệ quả Ta lét ta có : 

\(\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow MN=\frac{AM.BC}{AB}=\frac{\frac{25}{16}.6}{5}=\frac{15}{8}\)cm