chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước , không tồn tại số nguyên dương x sao cho :
x(x+1)=k(k+2)
ai xong trước mình tích cho , hien dag can gap=> mai nộp vở !!! help
chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước , không tồn tại số nguyên dương x sao cho :
x(x+1)=k(k+2)
CMR; Với mọi k cho trước , không tồn tại sô nguyên dương x saocho x(x+1)=k(k+2)
Ta có:\(x\left(x+1\right)=k\left(k+2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+x=k^2+2k\)
\(\Rightarrow x^2+x+1=k^2+2k+1\)
\(\Rightarrow x^2+x+1=\left(k+1\right)^2\)
Lại có:
\(x^2+x+1< x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\left(1\right)\) vì \(x\in Z^+\)
\(x^2+x>x^2\left(2\right)\)vì \(x\in Z^+\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow x^2< x^2+x+1< \left(x+1\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2< \left(k+1\right)^2< \left(x+1\right)^2\)
Do \(\left(k+1\right)^2\) là số chính phương bị kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp nên không tồn tại k;x thỏa mãn đề bài
Cho a,b,c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho ba số nguyên \(a^k+bc,b^k+ac,c^k+ab\) có ít nhất một ước nguyên tố chung.
Chứng minh rằng trong tập nguyên dương luôn tồn tại số k sao cho 2017^k-1 chia hết cho 10^5
Tham khảo bài này :
cách 1:
xét 3^k.
chọn k từ 1 đến 999 ta được dãy số
3; 3² ; 3³;...; 3^999
999 số trên khi chia cho 1000 sẽ được 999 số dư
(0,1...999)
xét 2 trh:
trh 1: số dư của các số trong dãy đôi một khác nhau
=> tồn tại một số trong dãy chia 1000 dư 1
=> 3^a -1 chia hết 1000
=> đpcm
trh2: số dư của các số trong dãy không khác nhau đôi một
=> sẽ có it nhất 2 số đồng dư
2 số đó là: 3^m và 3ⁿ (1≤m<n≤999)
=> hiệu của 2 số này chia hết cho 1000
=> 3ⁿ - 3^m = h.1000
mà: 3ⁿ - 3^m = 3^m.(3^(n-m) -1)
lại có: 3^m không chia hết cho 1000
=> 3^(n-m) - 1 chia hết cho 1000
mà 1≤m<n≤999 => 0 ≤ n - m ≤ 999
=> đpcm
vậy tồn tại số k thuộc N sao cho 3^k-1 chia hết 1000
.......... .......
cách 2:
xét k= 2n (n chẵn)
A= 3^(2n) -1
A= (10-1)^n -1
khai triển nhị thức ta đc:
A= 10ⁿ - 1Cn.10^(n-1) + 2Cn.10^(n-2) +...+ (n-2)Cn.10^2 - (n-1)Cn.10 +1 -1
A= 1000.[10^(n-2) -.....(n-3)Cn] + 100.n.(n+1)\2 - 10n
lấy n= 100m
=>B= n.(n+1)\2.100 - 10n
=>B= 1000.(50.101m -m)
=> A chia hết 1000 khi k= 200m
Bài 11. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho số 23k
có tận cùng là 0001.
Bài 12. Cho 15 số tự nhiên a1,a2,··· ,a15 thoả mãn 0 < a1 < a2 < ··· < a15 < 28. Chứng minh rằng tồn tại
3 chỉ số i < j < k mà ai = ak −aj
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Sn = 1!+2!+···+n!. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho Sk có ít nhất một ước nguyên tố lớn hơn 3^2019
Cho S = k2 + k + 1 .
a, Chứng minh rằng S không chia hết cho 9 với mọi số nguyên k.
b,Nếu k là số nguyên dương, thi S có thể là số chính phương không? Vì sao?
Cho P(x) =\(ax^2+bx+c\)( a,b,c ) là các số nguyên . Chứng minh rằng tồn tại \(k\in Z\)sao cho P(k) = \(P_{\left(2021\right)}\cdot P_{2022}\)
Đề sai. Bạn cho $a=-1; b=2021; c=2$ thì để có đpcm thì pt:
$-x^2+2021x+2=P(2021)P(2022)=-4020$ có nghiệm nguyên.
Mà dễ thấy pt này không có nghiệm nguyên nên đề sai.
Cho đa thức f(x)=x2+px+q với p;q thuộc Z. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f(k)=f(2008).f(2009).
Ta có: \(f\left(x\right)=x^2+px+q\)
\(\Rightarrow f\left(f\left(x\right)+x\right)=\left(f\left(x\right)+x\right)^2+p\left(f\left(x\right)+x\right)+q\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+x^2+p.f\left(x\right)+p.x+q\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+\left(x^2+p.x+q\right)\)
\(=f\left(x\right)^2+2f\left(x\right).x+p.f\left(x\right)+f\left(x\right)\)
\(=f\left(x\right).\left(f\left(x\right)+2x+p+1\right)=f\left(x\right).\left(x^2+px+q+2x+p+1\right)\)
\(=f\left(x\right).\left(\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)p+q\right)=f\left(x\right).f\left(x+1\right)\)
Vậy tồn tại số nguyên k để f(k) = f(2008).f(2009) ( Chọn x = 2018 thì \(k=f\left(2018\right)+2018\))