Giả sử d là ước chung lớn nhất của (2m + 3) và (m + 1)

Ta có: 2m + 2 chia hết cho d và 2m + 3 chia hết cho d nên

2m + 3 - 2m - 2 = 1 chia hết cho d

\(\Rightarrow\) d = 1 hoặc d = - 1

\(\Rightarrow\) 2m + 3 và m + 1 nguyên tố cùng nhau

Vậy phân số \(\frac{2m+3}{m+1}\) là phân số tối giản.

Câu còn lại làm tương tự

chứng minh tử số và mẫu số là số nguyên tố cùng nhau

Đặt d = ( 4m + 8 , 2m + 3 )

\(\Rightarrow4m+8⋮d\)

\(2m+3⋮d\)\(\Rightarrow2\left(2m+3\right)⋮d\)\(\Rightarrow4m+6⋮d\)

\(\Rightarrow\left(4m+8-4m-6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯC\left(2\right)\)

\(\Rightarrow d\in\left(1;2\right)\)

Do 2m + 3 là số lẻ nên d là số lẻ

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\left(4m+8;2m+3\right)=1\)

Hay \(\frac{4m+8}{2m+3}\)là phân số tối giản

Đặt d = ( 4m + 8 , 2m + 3 )

\(\Rightarrow4m+8⋮d\)

\(2m+3⋮d\)\(\Rightarrow2\left(2m+3\right)⋮d\)\(\Rightarrow4m+6⋮d\)

\(\Rightarrow\left(4m+8-4m-6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯC\left(2\right)\)

\(\Rightarrow d\in\left(1;2\right)\)

Do 2m + 3 là số lẻ nên d là số lẻ

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\left(4m+8;2m+3\right)=1\)

Hay \(\frac{4m+8}{2m+3}\)là phân số tối giản

Đặt d = ( 4m + 8 , 2m + 3 )

\(\Rightarrow4m+8⋮d\)

\(2m+3⋮d\)\(\Rightarrow2\left(2m+3\right)⋮d\)\(\Rightarrow4m+6⋮d\)

\(\Rightarrow\left(4m+8-4m-6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯC\left(2\right)\)

\(\Rightarrow d\in\left(1;2\right)\)

Do 2m + 3 là số lẻ nên d là số lẻ

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\left(4m+8;2m+3\right)=1\)

Hay \(\frac{4m+8}{2m+3}\)là phân số tối giản

Gọi ƯCLN( \(2m+1;m+1\) ) = \(d\) 

Ta có :

\(\begin{cases} 2m + 1 \vdots d\\m + 1 \vdots d\end{cases} \) 

=> \(\begin{cases} 2m + 1 \vdots d\\2(m + 1) \vdots d \end{cases} \)

=> \(2( m + 1 ) - ( 2m + 1 ) \vdots d\)

=> \(2m +2 - 2m-1\vdots d\)

=> \(1\vdots d \) 

<=> \(d \in \) { \(\pm\) 1 }

=> \(\dfrac{ 2m + 1 }{ m + 1 }\) tối giản \(\forall m \in \mathbb{Z} ; m \ne 1\) 

\(=\frac{m^3+3m^3+2m+5}{m^3+3m^3+2m+6}\)

gọi d là UCLN của (m³+3m³+2m+5;m³+3m³+2m+6)

\(\hept{\begin{cases}m^3+3m^3+2m+6⋮d\\m^3+3m^3+2m+5⋮d\end{cases}\Rightarrow d=1}\)

=> p/s trên là p./s tối giản

p/s: tớ làm tắt, bn tự làm thêm vào nhé =))

ukm cảm ơn

với \(m\in N\) nhé

a)Ta có: \(m^3+3m^2+2m+5=m.\left(m^2+3m+2\right)+5\)

                                                       \(=m.\left[m.\left(m+1\right)+2.\left(m+1\right)\right]+5\)

                                                       \(=m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+5\)

Giả sử \(d\) là ƯCLN của  \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+5\) và \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+6\) 

\( \implies\) \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+5\) chia hết cho d và \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+6\) chia hết cho \(d\)

\( \implies\) \(\left[m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+6\right]-\left[m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+5\right]\) chia hết cho \(d\)

\( \implies\) \(1\) chia hết cho \(d\) 

\( \implies\) \(d=1\) 

\( \implies\)  \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+5\) và \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+6\) nguyên tố cùng nhau 

Vậy \(A\) là phân số tối giản

b)Ta thấy : \(m;m+1;m+2\) là \(3\) số tự nhiên liên tiếp nên nếu \(m\) chia \(3\) dư \(1\) thì \(m+2\) chia hết cho \(3\) ; nếu  \(m\) chia \(3\) dư \(2\) thì \(m+1\) chia hết cho \(3\)

 Do đó : \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)\) chia hết cho \(3\) . Mà \(6\) chia hết cho \(3\)

\( \implies\) \(m.\left(m+1\right).\left(m+2\right)+6\) có ước nguyên tố là \(3\) 

Vậy \(A\) là số thập phân vô hạn tuần hoàn