x².(x+3)+y².(y+5)−(x+y).(x²−xy+y²)=0

<=>\(x^3+3x^2+y^3+5y^2-x^3-y^3=0\)(áp dụng hằng đẳng thức)

<=> \(3x^2+5y^2=0\)

ta thấy \(3x^2\ge0\)với mọi x

             \(5y^2\ge0\) với mọi y

=> \(3x^2+5y^2\ge0\)

=> x=0 và y=0

vậy cặp số (x;y)=(0;0)

 Cũng dễ

Bạn chỉ cần xét từng trường hợp thôi

bạn giải ra đi!    

để (x-1)(x+5)=1.->1=1.1=(-1)(-1)

x-1=1->x=2; x+5=1->x=-4

x-1=-1->x=-2; x+5=-1->x=-6

(x-1)(2x+6)........ làm tương tự . 

Để PT = 1 => (x-1)(x+5)=(x-1)(2x+6) (*)vs ĐKXĐ: x khác 1

Giải PT : (*) <=> x² +4x-5=2x² +4x -6

                    <=>x² +4x-5-2x² -4x+6 =0

                     <=> -x² +1 = 0

Giải Pt trên bằng máy tính ta có 2 nghiệm:

x₁ = 1(KTMĐK) ; x₂ = -1 (TMĐK)

Đề này còn có lý, lần sau chú ý đọc kĩ đề trước khi đăng lên, tránh làm mất thời gian vô ích:

\(\left|x-2y\right|\le\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow1\ge\sqrt{x}\left|x-2y\right|\Rightarrow1\ge x\left(x-2y\right)^2\)

\(\Rightarrow1\ge x^3-4x^2y+4xy^2\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{\sqrt{y}}\ge\left|y-2x\right|\Rightarrow1\ge y^3-4xy^2+4xy^2\)

Cộng vế:

\(\Rightarrow2\ge x^3+y^3=\dfrac{1}{2}\left(x^3+x^3+1\right)+\left(y^3+1+1\right)-\dfrac{5}{2}\ge\dfrac{1}{2}.3x^2+3y-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\left(x^2+2y\right)-\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x^2+2y\right)\le\dfrac{9}{2}\Rightarrow x^2+2y\le3\)

Sau vài phút cố gắng thì khẳng định đề bài của em bị sai

\(y^2+2\left(x^2+1\right)=2\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow y^2+2\left(x^2+x+1\right)=2\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow y^2+2x^2+2x+2=2x+2\)

\(\Leftrightarrow y^2+2x^2=0\)

Vì \(x^2\ge0;y^2\ge0\)

\(\Rightarrow y^2+2x^2\ge0\)

Mà \(y^2+2x^2=0\)

Nên \(\hept{\begin{cases}y^2=0\\2x^2=0\end{cases}}\)

Hay x = y = 0

Ta có \(\frac{1}{P}=\frac{\left(x+yz\right)\left(y+zx\right)\left(z+xy\right)^2}{x^3y^3}=\frac{x+yz}{y}\cdot\frac{y+zx}{x}\cdot\frac{\left(z+xy\right)^2}{x^2y^2}\)

\(=\left(\frac{x}{y}+z\right)\left(\frac{y}{x}+z\right)\left(\frac{z}{xy}+1\right)^2=\left[1+\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{y}\right)z+x^2\right]\left(\frac{z}{xy}+1\right)^2\ge\left(1+2x+x^2\right)\)\(\left[\frac{4x}{\left(x+y\right)^2}+1\right]^2\)\(=\left(z+1\right)^2\left[\frac{4z}{\left(z-1\right)^2}+1\right]^2=\left[\frac{4z\left(z+1\right)}{\left(z-1\right)^2}+1\right]^2=\left[6+\frac{12}{z-1}+\frac{8}{\left(z-1\right)^2}+z-1\right]^2\)

\(=\left[6+\frac{12}{z-1}+\frac{3\left(z-1\right)}{4}+\frac{8}{\left(z-1\right)^2}+\frac{z-1}{8}+\frac{z-1}{8}\right]\)

Áp dụng BĐT Cosi ta có:

\(\frac{1}{P}\ge\left[6+2\sqrt{\frac{12}{z-1}\cdot\frac{3\left(z-1\right)}{3}}+3\sqrt[3]{\frac{8}{\left(z-1\right)^2}\cdot\frac{z-1}{8}\cdot\frac{z-1}{8}}\right]^2=\frac{729}{4}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{4}{729}\). dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=y=2\\z=5\end{cases}}\)