Câu 2

Gọi tổng bình phương hai số lẻ là (2K+1)^2+(2H+1)^2

Ta có: (2K+1)^2+(2H+1)^2=4K^2+4K+1+4H^2+4H+1

                                          =4(K^2+K+H^2+H)+2

Vì 4(K^2+K+H^2+H) chia hết cho 4

=>4(K^2+K+H^2+H)+2 ko chia hết cho 4

Mk biết làm vậy thôi nha

a, Ta có : 9 đồng dư với 1 (mod 4 ) => 9ⁿ đồng dư với 1 ( mod 4)

=> 9ⁿ+1 đồng dư với 2 (mod 4) ko chia hết cho 4 => 9ⁿ+1 ko chia hết cho 100 (vì 100 chia hết cho 4)

b, Gỉa sử n chia hết cho 3

=> n²+n+1 chia 3 dư 1.

Nếu n chia 3 dư 1

=> n² đồng dư với 1 mod 3 => n²+n+1 chia hết cho 3

Nếu n chia 3 dư 2

=> n² chia 3 dư 1 => n²+n+1 chia 3 dư 1.

Suy ra n chia 3 dư 1 để n²+n+1 chia hết cho 5

=> n²+n có tận cùng là 4 hoặc 9 mà hai số liên tiếp nhân nhau ko có tận cùng là 4 hoặc 9

=> n² + n+1 ko chia hết cho 15.

thấy sai thì góp ý nha

câu b

2xn +11...1 n chữ số 1 = 3n-n+11...1

                                  =3n+(11....1-n)

Ta thấy tổng các chữ số của 11...1 là n

=> 11...1 và n có cùng một số dư

=>(111...1-n) chia hết cho 3

Mà 3n chia hết cho 3

=>3n+(11...1-n) chia hết cho 3

Hay 2n +111...1 chia hết ch03

Vậy 2n+111....1 chia hết cho 3

Có mí chỗ mk không ghi là n chữ số 1 bạn ghi hộ mk nhé

\(n^4-1=\left(n^2\right)^2-1^2=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

n lẻ  

=> n - 1 và n + 1 chẵn

Tích của 2 số chẵn liên tiếp sẽ chia hết cho 8

=> Biểu thức trên chia hết cho 8 với mọi n lẻ (đpcm)

ai giải giúp mình bài 2 và bài 3 với

Câu 2:

n lẻ nên n=2k+1

\(n^2+n+1\)

\(=\left(2k+1\right)^2+2k+1+1\)

\(=4k^2+4k+1+2k+2\)

\(=4k^2+6k+3=2\left(2k^2+3k\right)+3⋮̸2\)

hay \(n^2+n+1⋮̸8\)

1. Xét n=1
VT = 1² = 1
VP = \(\dfrac{n.\left(4n^2-1\right)}{3}=\dfrac{1.\left(4.1-1\right)}{3}=1\)
=> VT = VP
=> Mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n = k , mệnh đề đúng hay: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2=\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)}{3}\)+) Ta phải chứng minh với n = k + 1, mệnh đề cũng đúng, tức là: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{\left(k+1\right).\left(4.\left(k+1\right)^2-1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(1\right)\)
+) Thật vậy, với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{k.\left(4.k^2-1\right)}{3}+\left(2k+1\right)^2\\ =\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)+3.\left(2k+1\right)^2}{3}=\dfrac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\left(2k+1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(2\right)\)+) Từ (1) và (2) => Điều phải chứng minh

2. +) Xét n = 1
\(< =>4^1+15.1-1=18⋮9\)
=> với n=1 , mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n=k , mệnh đề đúng, tức là: \(4^k+15k-1⋮9\)
+) Ta phải chứng minh với n = k + 1 mệnh đề cũng đúng, tức là: \(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1⋮9\)
Thật vậy: với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1=4.4^k+15k+15-1\\ =4.4^k+4.15k-4-3.15k+18=4.\left(4^k+15k-1\right)-\left(45k-18\right)⋮9\)=> Điều phải chứng minh.