a, Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta AKM\) có:

\(\widehat{AHM}=\widehat{AKM}=90^o\)

AM cạnh chung

\(\widehat{HAM}=\widehat{KAM}\) (vì AM là tia phân giác của \(\widehat{HAK}\))

\(\Rightarrow\Delta AHM=\Delta AKM\) (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> AH = AK` (2 cạnh tương ứng)  (1)

Ta có: \(\widehat{AMK}+\widehat{KAM}=90^o\) (vì \(\Delta AKM\) vuông tại K)

          \(\widehat{KAM}+\widehat{BAM}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMK}=\widehat{BAM}\)

Mà \(\widehat{AMK}=\widehat{AMB}\) (vì \(\Delta AHM=\Delta AKM\))

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{AMB}\)

\(\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại B \(\Rightarrow AB=BM\)  (2)

Từ (1), (2) ta có đpcm

b, Xét \(\Delta HIM\) và \(\Delta CKM\) có:

\(\widehat{HMI}=\widehat{CMK}\) (2 góc đối đỉnh)

HM = KM (vì \(\Delta AHM=\Delta AKM\))

\(\widehat{IHM}=\widehat{CKM}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta HIM=\Delta KCM\left(g.c.g\right)\)

`=> HI = CK` (2 cạnh tương ứng)

Mà AH = AK (cmt)

`=> AH + HI = AK + CK`

`=> AI = AC`

\(\Rightarrow\Delta ACI\) cân tại A

AM là đường phân giác của \(\Delta ACI\) cân tại A

`=> AM` cũng là đường cao

\(\Rightarrow AM\perp CI\)     (3)

Vì AH = AK nên \(\Delta AHK\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\dfrac{180^o-\widehat{CAI}}{2}\)  

\(\Delta ACI\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AIC}=\dfrac{180^o-\widehat{CAI}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\widehat{AIC}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

`=>` HK // CI  (4)

Từ (3), (4) ta có đpcm

bài này mình làm rồi nhé bạn.Để mình chỉ cho bạn nha

1)Xét tam giác BAE và tam giác BKE:

     BEA = BEK = 90 độ

     BE chung

     ABE = KBE ( BE là phân giác của B )

=> Tam giác BAE = Tam giác BKE( g-c-g)

=> BA = BK( 2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác ABK cân ở B

2)Xét tam giác ABD và tam giác KBD:

      BA = BK ( cm trên)

      ABD =  KBD ( BD là phân giác của B)

      BD chung

=> Tam giác ABD = Tam giác KBD ( c-g-c)

=> BAD = BKD = 90 độ

=>KDB = KDC = 90 độ

=> KD vuông góc với BC

3) Ta thấy :  BAD + ADB + DBA = 180 độ

=> ADB + DBA = 90 độ  (1)

Mà AIE = BIH ( 2 góc đối đỉnh)

Mà BIH + IHB +HBI = 180 độ

=> BIH + HBI = 90 độ (2)

Mà DBA = HBI ( BD là phân giác của B )   (3)

Từ (1),(2) và (3) => AID = ADI (4)

=> Tam giác DAI cân ở A

=> AI = AD

 Xét tam giác vuông IAE (vuông ở E) và tam giác vuông DAE( vuông ở E)

       AI = AD

       AE chung

=> tam giác IAE = tam giác DAE(ch-cgv)

=> DAE = IAE ( 2 góc tương ứng)

=> AE là phân giác IAD

=> AK là phân giác HAC

4) Xét tam giác IAE và tam giác KAE:

     AEI = KEI

     EI chung

      AE=EK(2 cạnh tương ứng)

=> Tam giác IAE = Tam giác KAE 

=> AIE = KIE ( 2 góc tương ứng)   (5)

Từ (4) và (5) =>KIE = EAD

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> IK song song với AC

Mình làm bài này là để bạn hiểu nha ko hiểu thì nói mình

(Dấu gạch ngang trên đầu thay cho dấu góc)

HUHUHUHU....... Lúc làm bài kiểm tra chưa nghĩ ra,h mới nghĩ ra

a,*  Xét tam giác ABI và tam giác ACI có :

           cạnh AI chung

           góc BAI = góc CAI ( vì AI là phân giác góc A )

           AB = AC 

Do đó : tam giác ABI = tam giác ACI ( c.g.c )

\(\Rightarrow\)IB = IC ( cạnh tương ứng ) ( 1 )

* Vì AB = AC nên tam giác ABC cân tại A :

=> góc B = góc C 

Xét hai tam giác vuông BHI và tam giác vuông CKI có :

       góc BHI = góc CKI = 90độ 

        IB = IC ( theo ( 1 ) )

       góc B = góc C  ( theo chứng minh trên )

Do đó : tam giác BHI = tam giác CKI ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> IH = IK ( cạnh tương ứng )

b,Xét tam giác HIE và tam giác KIF có :

            góc IHE = góc IKF = 90độ

            IH = IK  ( theo câu a )

            góc HIE = góc KIF( đối đỉnh )

Do đó : tam giác HIE = tam giác KIF ( g.c.g )

=> IE = IF ( cạnh tương ứng )

=> tam giác IEF cân tại I

=> góc IEF = góc IFE = \(\frac{180^0-\widehat{EIF}}{2}\)(2)

 Ta lại có : IH = IK 

=> tam giác IHK cân tại I

=> góc IKH = góc IHK = \(\frac{180^0-\widehat{HIK}}{2}\) (3)

mà góc HIK = gócEIF (4)

Từ (2) , (3) và (4) suy ra : 

góc IEF = góc IFE = góc IKH = góc IHK 

mà góc IEF = góc IKH ở vị trí so le trong

=>  HK // EF .

Học tốt

Vì AB = AC => tam giác ABC cân tại A 

=> <B = <C

Vì <AHI = <AKI (= 90^o)

mà <HAI = <KAI 

=> <AHI - <HAI = <AKI - <KAI

=> I₂ = I₃ 

Xét tam giác vuông AHI và tam giác vuông AKI có : 

+ <HAI = <KAI (gt)

+) <I₂ = I₃ (cmt)

+) AI chung

=> \(\Delta AHI=\Delta AKI\)(g.c.g)

=> IH = IK (cạnh tương ứng)

Xét tam giác ABI = tam giác ACI có 

+) AB = AC

+) <BAI = <CAI

+) AI chung

=> tam giác ABI = tam giác ACI (c.g.c)

=> BI = CI (cạnh tương ứng)

b) Kéo dai AI sao cho AI giao EF tại N

Xét tam giác HIE và tam giác KIF có : 

+) <IHE = <IKF (= 90^o)

+) <HIE = <KIF (đối đỉnh)

+) HI = IK (câu a)

=> tam giác HIE = tam giác KIF (g.c.g)

=> HE = KF 

Lại có AH = AK (vì AB = AC ; BH = CK => AB - BH = AC - CK => AH = AK)

=> AH + HE = AK + KF

=> AE = AF

=> tam giác AEF cân tại A => <E = <F

Trong tam giác AEF có <A + <E + <F = 180^o 

=> <A + 2<F = 180^o (Vì <E = <F)

=> <F = (180^o - <A) : 2 (1)

Vì AH = AK

=> Tam giác AHK cân tại A

=> <AHK = <AKH

Trong tam giác AHK có

<A + <AHK + <AKH = 180^o

=> <A + 2<AKH = 180^o (Vì <AHK = <AKH)

=> <AKH = (180^o - A)/2 (2)

Từ (1) (2) => <AKH = <F

=> HK//EF (2 góc đồng vị bằng nhau) 

Bạn Minh vào thống  kê hỏi đáp để xem bài nha

a) Xét ΔABE vuông tại A và ΔHBE vuông tại H có

BE chung

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\), H∈BC)

Do đó: ΔABE=ΔHBE(cạnh huyền-góc nhọn)

b) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

⇒\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}=90^0-60^0=30^0\)

Ta có: BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)(gt)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{CBE}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{60^0}{2}=30^0\)

Xét ΔEBC có \(\widehat{ECB}=\widehat{EBC}\left(=30^0\right)\)

nên ΔEBC cân tại E(định lí đảo của tam giác cân)

⇒EB=EC

Xét ΔEBH vuông tại H và ΔECH vuông tại H có

EB=EC(cmt)

EH chung

Do đó: ΔEBH=ΔECH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒HB=HC(hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: \(\widehat{BEC}\) là góc ngoài tại đỉnh E của ΔABE(EA và EC là hai tia đối nhau)

nên \(\widehat{BEC}=\widehat{BAE}+\widehat{ABE}\)(định lí góc ngoài của tam giác)

\(\Rightarrow\widehat{BEC}=90^0+30^0=120^0\)

Ta có: ΔEBH=ΔECH(cmt)

⇒\(\widehat{BEH}=\widehat{CEH}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{BEH}+\widehat{CEH}=\widehat{BEC}\)(tia EH nằm giữa hai tia EB,EC)

nên \(\widehat{BEH}=\widehat{CEH}=\frac{\widehat{BEC}}{2}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{KEH}=60^0\)

Ta có: HK//BE(gt)

⇒\(\widehat{BEH}=\widehat{KHE}\)(hai góc so le trong)

mà \(\widehat{BEH}=60^0\)(cmt)

nên \(\widehat{KHE}=60^0\)

Xét ΔKHE có

\(\widehat{KEH}=60^0\)(cmt)

\(\widehat{KHE}=60^0\)(cmt)

Do đó: ΔKHE đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

d) Xét ΔAEI vuông tại A có EI là cạnh huyền(EI là cạnh đối diện với \(\widehat{EAI}=90^0\))

nên EI là cạnh lớn nhất trong ΔAEI(trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

hay EI>EA

mà EA=EH(ΔBAE=ΔBHE)

nên IE>EH(đpcm)