Trên tia  \(AM\)  của tam giác \(ABC\) lấy điểm \(I\)  sao cho  \(AM=IM\)

Ta có:  \(AM=IM\)  (theo giả thiết)

      góc  \(M_1\)  \(=\)  góc  \(M_2\) (đối đỉnh)

          \(MC=MB\)  (do  \(M\)  là trung điểm của  \(BC\))

nên  \(\Delta AMC=\Delta IMB\)  \(\left(cgc\right)\)

suy ra  góc  \(MAC\)  \(=\)  góc  \(MIB\)  (hai góc tương ứng)

Do đó,  \(BI=AC>AB\)

Khi đó, xét  \(\Delta ABI\)  có   \(BI>AB\)  

nên  góc  \(BAI\)  \(>\)  góc  \(BIA\)

\(\Leftrightarrow\)  góc  \(BAM\)   \(>\)  góc  \(MAC\)

Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

Xét ΔAMB và ΔDMC, ta có:

MA = MD (theo cách vẽ)

∠(AMB) = ∠(DMC) (đối đỉnh)

MB = MC (gt)

Suy ra: ΔAMB = ΔDMC (c.g.c)

Suy ra: AB = CD (2 cạnh tương ứng)

và ∠D = ∠A1(2 góc tương ứng) (1)

Mà AB < AC (gt)

nên: CD < AC

Trong ΔADC, ta có: CD < AC

Suy ra: ∠D > ∠A2(đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠A1 > ∠A2hay ∠(BAM) > ∠(MAC) .

a: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AB}{4}=\dfrac{AC}{5}=\dfrac{BC}{6}=\dfrac{AB+AC+BC}{4+5+6}=\dfrac{30}{15}=2\)

Do đó: AB=8cm; AC=10cm; BC=12cm

=>\(\widehat{C}< \widehat{B}< \widehat{A}\)

b: \(\cos MAB=\dfrac{AB^2+AM^2-BM^2}{2\cdot AB\cdot AM}=\dfrac{AB^2+AM^2-CM^2}{2\cdot AB\cdot AM}\)

\(\cos MAC=\dfrac{AM^2+AC^2-MC^2}{2\cdot AM\cdot AC}\)

mà \(\dfrac{AB^2+AM^2-MC^2}{2\cdot AM\cdot AC}< \dfrac{AM^2+AC^2-MC^2}{2\cdot AM\cdot AC}\)

nên \(\widehat{MAB}>\widehat{MAC}\)