câu này đưa về tam thức bậc 2 là được

làm denta cũng đc

Ta có \(Q=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\frac{3a^2-3ab+3b^2}{3a^2+3ab+b^2}=\frac{a^2+ab+b^2+2a^2-4ab+2b^2}{3a^2+3ab+3b^2}\) \(=\frac{1}{3}+\frac{2\left(a-b\right)^2}{3a^2+3ab+3b^2}\)

. Xét \(a^2+ab+b^2\) \(=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) 

. Suy ra \(\frac{1}{3}+\frac{2\left(a-b\right)^2}{3a^2+3ab+3b^2}\ge\frac{1}{3}\) => \(MinQ=\frac{1}{3}\) khi \(a=b\)

. \(Q=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\frac{3a^2+3ab+3b^2-2a^2-4ab-2b^2}{a^2+ab+b^2}\) \(=3-\frac{2\left(a+b\right)^2}{a^2+ab+b^2}\le3\)

. Suy ra \(MaxQ=3\) khi \(a=-b\)

. Kết luận ^^

Lời giải:

\(Q=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\\ \Rightarrow Q(a^2+ab+b^2)=a^2-ab+b^2\)

$\Leftrightarrow a^2(Q-1)+a(Qb+b)+(Qb^2-b^2)=0(*)$

Vì $Q$ tồn tại nên PT $(*)$ luôn có nghiệm.

Điều này xảy ra khi:

$\Delta=(Qb+b)^2-4(Q-1)(Qb^2-b^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow b^2(Q+1)^2-4b^2(Q-1)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (Q+1)^2-4(Q-1)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (Q+1-2Q+2)(Q+1+2Q-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (3-Q)(3Q-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\leq Q\leq 3$

$\Rightarrow Q_{\min}=\frac{1}{3}; Q_{\max}=3$

Bài toán ghép cơ học không có gì mới

Ta chứng minh 2 bổ đề:

\(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\le\frac{9}{2\left(a+b+c\right)^2}\left(1\right)\)

\(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)^2}\le\frac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{ab+bc+ca}\left(2\right)\)

Bất đẳng thức ( 2 ) tương đương với:

\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}+1+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+4\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge2\)( Luôn đúng theo BĐT AM - GM )

 Bất đẳng thức ( 1 ) tương đương với:

\(\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\right)\le\frac{9}{2}\)

Sử dụng Titu's Lemma ta dễ có:

\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4a^2+b^2+c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{a^2}{2a^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\)

Một cách tương tự khi đó:

\(LHS\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\Sigma\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Vậy ta có đpcm