Từ bất đẳng thức Cô si ta có:

\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\left[\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]^2\)

\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh:

\(\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)nên bất đẳng thức cuối cùng đùng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

sai r bạn ơi ko biết còn đòi

ko cả biết BĐT AM-GM với C-S là gì còn hỏi bài này rảnh háng

Đề sai rồi. Nếu như là a, b, c dương thì giá trị nhỏ nhất của nó phải là 9 mới đúng. Còn để có GTNN như trên thì điều kiện là a, b, c không âm nhé. Mà bỏ đi e thi cái gì mà phải giải câu cỡ này. Cậu này mạnh lắm đấy không phải dạng thường đâu.

a)

Đặt   \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\)

Áp dụng BĐT Schwarz , ta có :

\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)  (1)

Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}\ge3\)     (2)

Từ (1) và (2) , suy ra :  \(A\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

b)

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)

 tại sao lại dc cái này bạn

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^2}{a+b+c}\)

BDDT Schawars :

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\) ( vs a,b,x,y dương )

\(\Leftrightarrow x^2b\left(a+b\right)+y^2a\left(a+b\right)=ab\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2ab+x^2b^2+y^2a^2+y^2ab\ge x^2ab+2abxy+y^2ab\)

\(\Leftrightarrow x^2b^2-2abxy+y^2a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xb-ya\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng )

''='' khi \(xb=ya\Leftrightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\)

Áp dụng , ta có :

\(B=\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)\right]^2}{a+c}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^2}{a+b+c}=\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)

 Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}\Rightarrow\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}\Rightarrow a=b=c\)

\(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\)

\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)

\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

mà \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(dễ chứng minh) 

chứng minh tương tự ta có

\(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\)\(\ge\)6

\(\left(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\right)^2\ge6^2=36\)(2)    (a>0; b>0; c>0)

tiếp theo chứng minh

\(36\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(18\ge2\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(18a^2+18b^2+18c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(16\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)

\(16\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)   (bất đẳng thức luôn đúng )

suy ra  bất đẳng thức

\(36\ge4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)luôn đúng  (2)

từ (1) và (2) suy ra

\(\left(\frac{\left(b+c\right)}{a}+\frac{\left(c+a\right)}{b}+\frac{\left(a+b\right)}{c}\right)^2\ge\text{​​}\text{​​36}\ge\)\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

Ta có :  \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Áp dụng ta có :

\(\frac{a}{b+c}=a.\frac{1}{b+c}\le a.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)\)

Tương tự : 

\(\frac{b}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\right)\)

\(\frac{c}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\)

\(\Rightarrow4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\le\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)

\(\Rightarrow4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\le\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}\)

\(\Rightarrow4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c

Áp dụng BĐT cô si ta có : 

\(\frac{b+c}{a}\ge4.\frac{a}{b+c}\)

\(\frac{c+a}{b}\ge\frac{4b}{c+a}\)

\(\frac{a+b}{c}\ge\frac{ac}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge4.\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi a=  b = c

ta có: \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}.\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a.b.c}{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}}\)    (vì abc=1)     (*)

Mặt khác: \(\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2\ge64abc=64=4^3\)   (vì abc=1)

=> \(\sqrt[3]{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}\ge4\)   (**)

Từ (*), (**)=> đpcm

Bạn dưới kia làm ngược dấu thì phải,mà bài này hình như là mũ 3

\(\frac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a+1}{8}+\frac{b+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{64\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}=\frac{3a}{4}\)

Tương tự rồi cộng lại:

\(RHS+\frac{2\left(a+b+c\right)+6}{8}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)

\(\Leftrightarrow RHS\ge\frac{3}{4}\) tại a=b=c=1

Ta cần chứng minh \(\Sigma\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\Sigma\left[4a\left(c+1\right)\right]\ge3\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4\Sigma ab+4\Sigma a\ge3abc+3\Sigma ab+3\Sigma a+3\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\ge6\)(*)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta được:

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\); \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)(Do theo giả thiết thì abc = 1)

Suy ra (*) đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(3a+b+3b+a\right)}\)

\(=\sqrt{4\left(a+b\right)^2}=2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}=\frac{1}{2}\)

Đề sai. Nếu chỗ căn vế phải mà là căn bậc 3 thì t sol cho

Ta có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)

Áp dụng bđt cosi ta có:

\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+2\right)}+\frac{b+1}{12}+\frac{c+2}{18}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{12.18}}=\frac{a}{2}\)

Làm tương tự

=>\(VT+\left(\frac{a+1}{12}+\frac{a+2}{18}\right)+\left(\frac{b+1}{12}+\frac{b+2}{18}\right)+\left(\frac{c+1}{12}+\frac{c+2}{18}\right)\ge\frac{a+b+c}{2}\)

=> \(VT\ge\frac{13}{36}.\left(a+b+c\right)-\frac{7}{12}\ge\frac{13}{36}.3-\frac{7}{12}=\frac{1}{2}\)(ĐPCM)